Численные методы (стр. 15 )

,

где .

Проинтегрировав эту функцию на отрезке , получим

.

Суммируя полученные выражение по , получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):

.

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.

Теорема. Пусть функция имеет на отрезке непрерывную производную четвертого порядка . Тогда для формулы Симпсона справедлива следующая оценка погрешности: , где

.

Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок , четно, т. е. , то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка длины рассматривать отрезок длины . Тогда формула Симпсона примет вид: , а вместо последней оцен­ки будет справедлива следующая оценка погрешности:

.

Правило Рунге практической оценки погрешности.

Оценка погрешности зависит от длины элементарного отрезка , и при достаточно малом справедливо приближенное равенство: , где приближенное значение интеграла. Если уменьшить шаг в два раза, то получим: .

Вычитая одно из другого, получим: , или .

Это приближенное равенство дает оценку погрешности. Вычисление этой оценки называется правилом Рунге. Правило Рунге – это эмпирический способ оценки погрешности, основанный на сравнении результатов вычислений, проводимых с разными шагами . Для формулы Симпсона , и оценка принимает вид: . Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления интеграла с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значения в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение . Вычисления прекращаются тогда, когда результаты двух последующих вычислений будут различаться меньше, чем на .

Пример. Вычислить .

Решение. Возьмём , тогда .

0	0			10)0,54)
1	0,125	0,984625
2	0,250		0,9411761)
3	0,375	0,876712
4	0,5		0,82)
5	0,625	0,7191
6	0,750		0,643)
7	0,875	0,566389
8	1
		3,45955	1,62818	1,5

.

.

.

Следовательно, значение интеграла можно счесть .

7. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

7.1. Постановка задачи Коши

Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: .

Решением этого уравнения является дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. На рис. 13 приведен график решения исходного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Рис. 13

Производную в каждой точке можно геометрически интерпретировать как тангенс угла наклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.: .

Исходное уравнение определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие: , где – некоторое заданное значение аргумента , а – начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей исходному уравнению и начальному условию. Обычно определяют решение задачи Коши на отрезке, расположенном справа от начального значения , т. е. для . Разрешимость задачи Коши определяет следующая теорема.

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна при , и удовлетворяет условию Липшица: , где некоторая постоянная, а – произвольные значения. Тогда для каждого начального значения существует единственное решение задачи Коши для .

Даже для простых дифференциальных уравнений первого порядка не всегда удается получить аналитическое решение. Поэтому большое значение имеют численные методы решения. Численные методы позволяют определить приближенные значения искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента . Точки называются узлами сетки, а величина – шагом сетки. Часто рассматривают равномерные сетки, для которых шаг постоянен, . При этом решение получается в виде таблицы, в которой каждому узлу сетки соответствуют приближенные значения функции в узлах сетки .