Программа государственного экзамена
по направлению «Прикладная математика и информатика»
(бакалавр)
Утверждена на заседании Ученого совета факультета ВМК
2 апреля 2007 года
Математический анализ
Пределы последовательностей и функций. Первый и второй замечательные пределы и следствия из них. Эквивалентные бесконечно-малые величины. Раскрытие основных неопределенностей, правила Лопиталя. Непрерывность функций одной и нескольких переменных (в точке, на множестве). Совокупная и покоординатная непрерывность. Теоремы о непрерывных функциях. Производная и дифференциал функции одной переменной. Критерий дифференцируемости функции. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Частные производные и дифференциал функции. Производная по направлению. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции нескольких переменных. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Неопределенный и определенный интегралы. Основные приемы интегрирования функций. Геометрические приложения интегралов. Вычисление площадей плоских областей и объемов тел. Длина плоской кривой в различных координатах. Основные теоремы для криволинейных и поверхностных интегралов. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса. Достаточное условие регулярности функции. Представление функций рядами Тейлора.Геометрия и алгебра
Понятие алгебраической системы. Полугруппы, группы, кольца и поля. Линейные векторные пространства. Линейная независимость систем векторов. Ранг систем векторов. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в базисе, изменение координат при изменении базиса. Детерминант матрицы, его свойства и способы вычисления. Матричные операции. Кольцо квадратных матриц. Способы обращения матриц. Теорема о ранге произведения матриц. Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера, метод Гаусса, условие совместности и разрешимости. Представление общего решения в виде линейного многообразия. Линейные преобразования конечномерного линейного векторного пространства и их матричное представление. Собственные числа и векторы линейного преобразования, методы их вычисления. Отношение подобия матриц. Диагонализируемые преобразования. Билинейные и квадратичные формы и их матричное представление. Каноническое представление положительно определенной квадратичной формы. Евклидовы и унитарные пространства. Процесс ортогонализации системы векторов. Аффинная и ортогональная классификация кривых и поверхностей второго порядка.Дискретная математика
Логические функции и способы их представления. Полные системы функций и теорема о полноте. Основные понятия теории графов. Способы представления графов. Важнейшие классы графов (деревья, двудольные графы, планарные графы). Теоремы Кёнига и Понтрягина-Куратовского. Постановка задачи оптимального кодирования. Сведение общей задачи оптимального кодирования к задаче построения оптимального префиксного кода. Алгоритм Хаффмана.Методы программирования
1. Системы программирования. Библиотеки программ. Визуальный подход к разработке программ. Интегрированные среды разработки программ (на примере конкретной системы – Microsoft Visual Studio, Borland C++ или Borland Pascal). Основные функции интегрированной среды. Средства для отладки программ.
2. Стандартные типы данных и их внешнее и внутреннее представление в памяти ЭВМ. Структурированные типы данных (массивы, множества, структуры/записи, перечисления, объединения).
3. Базовые элементы структурного программирования - составные операторы, циклы, условные операторы, операторы выбора (переключатели). Внутренние и внешние процедуры (функции). Элементы модульного программирования. Работа с библиотеками программ (модулей).
4. Основные понятия объектно-ориентированного программирования. Объявление класса и разграничение уровней доступа к данным и процедурам. Конструкторы и деструкторы. Переопределение функций и операций. Наследование.
5. Понятие структуры данных. Примеры линейных структур. Динамические структуры данных. Примеры и способы их реализации.
6. Статическое и динамическое распределение памяти. Языковые средства управления динамическим распределением памяти. Управление свободной памятью при использовании сцепления (списки).
7. Управление распределением памяти. Локальные и глобальные переменные. Области действия переменных. Статическое и динамическое распределение памяти. Указатели.
8. Организация доступа по имени (таблицы). Способы организации таблиц. Оценка эффективности.
9. Методы работы с внешней памятью. Файлы. Языковые средства для работы с файлами (открытие/закрытие, чтение/запись, перемещение указателя, анализ на исчерпание данных).
Архитектура ЭВМ и системное программирование
Архитектура компьютера. Многоуровневая организация памяти. Оценка производительности. Компьютерные системы с разделяемой и распределенной памятью. Многоядерные процессоры. Операционные системы и их функции. Основные характеристики операционных систем типа Windows и Unix. Организация многозадачной и многопользовательской работы операционных систем. Понятие процессов и потоков. Синхронизация вычислений и взаимоисключение при доступе к общим данным. Локальные вычислительные сети. Основные типы топологий. Сетевые протоколы передачи данных. Структура протокола TCP/IP. Глобальные компьютерные сети. Сеть Интернет. Представление информационных ресурсов в сети Интернет.Базы данных
1. Основные концепции интегрирования данных и управления ими (базы данных, системы управления базами данных (СУБД)). Моделирование процессов интегрирования и обработки данных (инфологическая модель, иерархическая, сетевая и реляционная модели, модели распределенной обработки). Примеры конкретных СУБД.
2. Проектирование баз данных. Основные этапы проектирования (моделирование предметной области, структур данных, структур хранения). Примеры проектирования в среде конкретных СУБД.
3. Характеристика языка SQL. Основные операторы.
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Представление общего решения системы. Приемы интегрирования простейших дифференциальных решений. Постановка задачи об устойчивости решений дифференциальных уравнений. Теоремы Ляпунова об устойчивости, неустойчивости, устойчивости по первому приближению.Математическая физика
Постановка задачи о малых поперечных колебаниях струны. Вывод уравнения колебаний. Начальные и граничные условия. Постановка задачи о распределении тепла в стержне. Вывод уравнения теплопроводности. Начальные и граничные условия. Метод Фурье разделения переменных в классических одномерных задачах математической физики. Свойства собственных функций. Метод Даламбера бегущей волны на примере колебаний бесконечной и полубесконечной струны. Определение и смысл функций точечного источника для параболического уравнения. Примеры функций точечного источника.Методы вычислений
Методы приближенного вычисления функций (интерполяция, сплайн-интерполяция, наилучшие приближения). Численные методы решения задач линейной алгебры (решение систем линейных уравнений методы отыскания собственных значений). Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (методы типа Рунге-Кутты). Сеточные методы решения уравнений в частных производных. Понятие аппроксимации сходимости и устойчивости, численное решение разностных схем.Теория вероятностей
Основные этапы построения вероятностной модели статистически устойчивого эксперимента. Свойства вероятностей. Случайные одномерные величины, функции распределения. Классификация случайных величин. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон. Случайные многомерные величины, функции распределения. Условные законы распределения. Числовые характеристики систем случайных величин. Ковариация случайных величин и коэффициент корреляции. Неравенство Чебышева, закон больших чисел и предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Основные понятия математической статистики и выборочные характеристики. Оценивание математического ожидания, дисперсии, вероятности. Проверка простой гипотезы с использованием критерия «c-квадрат». Основные понятия о случайных процессах. Способы задания случайных процессов. Классификация случайных процессов. Цепи Маркова с конечным числом состояний.Теория управления
Преобразования Лапласа. Его применение для решения дифференциальных уравнений. Коэффициент передачи, функция отклика, частотные характеристики динамического звена. Соединение звеньев в системы. Критерии устойчивости линейной системы автоматического регулирования. Энтропия и информация. Свойства. Кодирование. Экономичность и избыточность кода. Самокорректирующие коды. Пропускная способность канала связи. Теорема Шеннона (без доказательства). Постановка задачи оптимального управления. Управляемость, наблюдаемость.Методы оптимизации
Линейное программирование, симплекс метод и варианты его конкретизации, теорема двойственности. Задачи динамического программирования. Метод рекуррентных уравнений Беллмана. Условия оптимальности в гладких выпуклых задачах математического программирования. Теоремы Лагранжа, Каруша-Куна-Таккера. Линейная задача об оптимальном быстродействии. Принцип максимума Понтрягина. Задачи вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления с подвижными концами.Исследование операций
Модель операции в нормальной форме. Оценка решений по гарантированному результату. Устойчивость и эффективность решений. Совместимость устойчивости и эффективности. Позиционная форма игры, переход к нормальной форме. Устойчивые решения в играх с полной информацией. Смешанное расширение конечной игры. Упрощение условий устойчивости. Существование устойчивых решений в смешанных стратегиях для 2´2 игр. Решение двойственных задач линейного программирования как седловая точка матричной игры. Сведение задачи решения матричной игры к решению задачи линейного программирования.Концепции современного естествознания
Динамическая система, фазовое пространство и оператор. Дифференциальные уравнения как способ задания динамической системы. Экспоненциальные модели роста и убывания. Формула Циолковского разгона ракеты. Осциллятор как математическая модель колебаний. Фазовые портреты осциллятора. Автоколебания. Примеры автоколебательных систем. Модели сосуществования двух биологических популяций.Литература
1. , Позняк математического анализа в двух томах. – М.: Наука, 1980
2. Кудрявцев математического анализа. Учебник, т. 1, 2, 3 // М.: Высшая школа, 1988, 1989.
3. , , Шабунин теории функций и функционального анализа.
4. , , Шабунин по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука 1982.
5. Беклемишев аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука 1985.
6. Яблонский в дискретную математику. – М.: Наука 1986.
7. Понтрягин дифференциальные уравнения. – М.: Наука 1982.
8. Тихонов А. А., Уравнения математической физики. – М.: Наука 1977.
9. Смирнов уравнения в частных производных второго порядка. – М.: Наука 1974.
10. Федоткин прикладной теории вероятностей и статистики: Учебник/. – М.: Высш. шк., 2006. – 368с.: ил.
11. Гнеденко теории вероятности. – М.: Наука 1988.
12. , , Кобельков методы. – М.: Наука 1987.
13. , Золотых методы линейной алгебры. Лабораторный практикум. – Н. Новгород, изд. ННГУ 2006. – 198с.
14. , , Методы сплайн-функций, М.: Наука 1980, 352с.
15. , , Динамические модели теории управления. – М.: Наука 1985.
16. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. – М.: Наука 1965.
17. , Войтенко программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1979.
18. . Золотых и целочисленное линейное программирование: Учебник. – Н. Новгород, изд-во ННГУ, 2005. – 307с.
19. Карманов программирование. - Учебное пособие - М.: Наука, 2000.
20. Болтянский методы оптимального управления. – М.: Наука, 1969.
21. , Фомин исчисление. – М.: Физматиз, 1961.
22. Неймарк модели в естествознании и технике. Н. Новгород. Изд-во ННГУ, 2004.
23. Грудзинский программирования. Курс на основе языка Турбо Паскаль. - Нижний Новгород: Изд. ННГУ, 1993.
24. Практика программирования: Visual Basic, C++ Builder, Delphi. Самоучитель.– СПб.: БХВ-Петербург, 2002.
25. и др. Методы программирования. Учебное пособие. Н. Новгород: ННГУ, 1997
26. , , Мееров данных. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2004.
27. Адамс Дж. Математические основы машинной графики: Пер. с англ. - М.: Мир, 2001. 604 с.
28. , . Основы операционных систем. Курс лекций. М: "Интернет-университет информационных технологий", 2004 г.
29. Компьютерные сети, 4-е издание. СПб: Питер, 2004.
30. Стронгин операций. Модели экономического поведения: Учебник. - Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета им. , 2002. - 244с.
