Практикум по решению задач на ЭВМ MATHCAD (стр. 5 )

2. Сложные функции, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как решение систем линейных уравнений, вычисление собственных векторов и собственных значений, различные матричные разложения.

Векторы являются частным случаем матриц, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например, некоторые операции применимы только к квадратным матрицам). Есть действия, которые допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а есть те, что по-разному действуют на векторы и матрицы. Запомните: вектор – это столбец, поэтому чтобы превратить строку в вектор, ее нужно предварительно транспонировать.

Основными операциями являются транспонирование, сложение и вычитание матриц одинаковой размерности, умножение матриц определённой размерности, умножение на скаляр, вычисление определителя квадратной матрицы и модуля вектора, скалярное и векторное произведение векторов, поиск обратной матрицы, возведение матрицы в степень, вычисление определителя (используйте панель инструментов «Матрицы»).

Символьные вычисления позволяют получить соответствующие формулы, например, для векторного произведения векторов (матриц) и т. п.

Задания для самостоятельной работы

7.1.  Без использования вычислительной техники найдите

а). матрицу С=-5А+2В, если А=; В=

б). произведение матриц А= и В=

Проверьте свои вычисления в программе Mathcad.

7.2.  Выполните транспонирование матриц из задания 2 без использования ПК и с помощью Mathcad.

7.3.Найдите обратные матрицы для матриц из задания 2 с помощью Mathcad. Проверьте себя без использования ПК и с помощью Mathcad (подумайте как это можно сделать косвенно).

7.4. Выполните действия с матрицами, создав их из заданных коэффициентов a=1, b=2, c= 3, m=4, k=5, n=6. Матрицы имеют следующий вид:

Вычислите 1) А+n·K; 2)A·B; 3) 2A; 4) A·D; 5)D·M

7.5.Выполните транспонирование матрицы В в символьном виде.

7.6. Найдите матрицу обратную для А (К) в символьном виде. Сделайте проверку, вычислив А*А-1.

7.7. Выполните указанные в п. 7.4-7.6 задания для следующих значений коэффициентов в другом документе а=1, b=0.5, c=-1, m=2, k=-2.1, n=-0.8.

7.8. Выполните задания, связанные с решением задач линейной алгебры из ЛР 10 Решение задач линейной алгебры [2, с.30-33] задания с первого по шестое.

ЛР №8. Решение уравнений и их систем

Цель работы.

1.  Научиться решать уравнения, а также их системы в MathCAD, используя вычислительный блок (Given - ключевое слово…Find (x, …)).

2.  Научиться решать системы линейных уравнений различными способами.

Материал для подготовки к занятию

Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две основных группы: прямые (метод Крамера, метод Гаусса, и т. п.) и итеративные методы. При использовании прямых методов расчеты можно вести как численно, так и символьно. Итеративные методы применяются в численных решениях.

Для решения систем линейных и нелинейных уравнений используется "блок решений", который начинается с ключевого слова gіven и заканчивается вызовом функции fіnd. Между ними находятся уравнение. Всем неизвестным в уравнении должны быть присвоены начальные значения. В уравнении, для которого необходимо найти решение, нужно использовать знак логического равенства = на панели инструментов Evaluatіon. Как аргументы в функции должны быть неизвестные, которые необходимо найти.

Можно в блоке решений использовать функцию minner, которая дает приближенные решения при указании начальных значений для неизвестных. Они вводятся до блока решений.

При решении системы линейных уравнений с помощью встроенной функции lsolve(А, b) программа возвращает вектор решений. Матрица А - квадратная невырожденная, вектор b - вектор правых частей в системе уравнений.

Можно получать также аналитические решения системы уравнений, используя оператор solve. В этом случае система должна быть занесена в виде вектора в левый маркер оператора, а переменные через запятую в правый маркер. Ответ будет возвращен в виде матрицы, в строках которой будут записаны найденные значения неизвестных системы уравнений.

Задания для самостоятельной работы

8.1.Без использования вычислительной техники решите систему:

Выпишите матрицы, с которыми Вы работали, какова их размерность? Запишите матрицу, являющуюся решением системы, какова её размерность?

8.2. Решите систему из п.8.1 как минимум тремя способами (используя вычислительный блок, по формулам Крамера, с помощью встроенной функции lsolve(А, b))

8.3. Запишите систему уравнений из п.8.1. в матричной форме. Вспомните, как решают матричные уравнения. Решите систему, используя матричный способ решения.

8.4. Решите следующие системы уравнений

; ;

.

8.5.Системы нелинейных уравнений решаются с помощью блока решения и функций find и minner. Решите следующие системы уравнений:

; .

8.6.  Выполните индивидуальные задания, связанные с решением уравнений и их систем из ЛР 10 Решение задач линейной алгебры [2, с.30-33]. Задания седьмое и восьмое.

ЛР №9. Графика на плоскости

Цель работы.

1.  Познакомиться с графическими возможностями программы.

2.  Научиться реализовывать построение графиков функций, заданных различными способами (в полярной системе координат, параметрически).

Материал для подготовки к занятию

Создание графика функции, заданного в полярной системе координат

Создание графика функции, заданной параметрически.

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1.

Построить график функции y = 2 sin 3x точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб.

Построить изображение четырех лепестковой розы, заданной уравнением в полярных координатах: r =аsin2j (a> 0);

Построить график функции, заданной параметрически x = 2t2+t, y = ln t 

Вариант 2.

Построить график функции y= sin(3x2 +2х -1) точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб.

Построить изображение кардиоиды,  заданной уравнением в полярных координатах: r = а(1+cosj) (a> 0);

 Построить график функции, заданной параметрически x = (1-t)/(1+t2), y = (2+t2)/t2

Вариант 3.

Построить график функции y= |2 sin 3x2| точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб.

Построить изображение улитки Паскаля, заданной уравнением в полярных координатах: r =аcosj  + l (a> 0);

 Построить график функции, заданной параметрически x = sin23t, y = cos23t

Вариант 4.

Построить график функции y= x2 (x-1)3 (x+3)4точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб.

Построить изображение кривой, заданной уравнением в полярных координатах: r =аsin3j (a> 0);

Построить график функции, заданной параметрически x = t4+2t, y = t2+5t 

Вариант 5.

Построить график функции y= x tg x точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб.

Построить изображение логарифмической спирали, заданной уравнением в полярных координатах: r =аj (a> 0);

 Построить график функции, заданной параметрически x = t - ln sint, y = t + ln cos t

Вариант 6.

Построить график функции y= (tg x)/x точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб.

Построить изображение  спирали Галилея, заданной уравнением в полярных координатах: r =аj2 (a> 0);

 Построить график функции, заданной параметрически x = tg t, y = 1/sin2t

Вариант 7.

Построить график функции y= | (sin 3x)/2| точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб.

Построить изображение спирали Ферма, заданной уравнением в полярных координатах: r2 =а2j (a> 0);

 Построить график функции, заданной параметрически x = t2-t3, y = 2 t3

Вариант 8.

Построить график функции y= | ln(3x-1)| точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб.

Построить изображение кривой, заданной уравнением в полярных координатах: r2 =а2/j (a> 0);

 Построить график функции, заданной параметрически x = cos3t, y = sin3 t

Вариант 9.

Построить график функции y= x sin 3x точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб.

Построить изображение конхоиды Никомеда, заданной уравнением в полярных координатах: r =а/sinj + l (a> 0, l>0);