Контрольно - измерительные материалы по дисциплине «Геометрия»

Контрольно - измерительные материалы

по дисциплине «Геометрия»

Вид работы	составитель	Номер протокола и дата утверждения на заседании кафедры
Модуль 1 (Геометрия на плоскости»), первый семестр
Домашняя контрольная работа №1 (конструктивная геометрия)		№9 от 01.01.2001
Аудиторная контрольная работа №1 (планиметрия)		№9 от 01.01.2001
Вопросы к коллоквиуму №1 (геометрия на плоскости)		№9 от 01.01.2001
Модуль 2 (Векторный и координатный методы), второй семестр
Аудиторная контрольная работа №2 (векторы, прямая на плоскости)		№9 от 01.01.2001
Домашняя контрольная работа №2 (приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду)		№9 от 01.01.2001
Вопросы к экзамену №1 (геометрия на плоскости, векторный и координатный методы)		№9 от 01.01.2001
Модуль 3 (Геометрия в пространстве), третий семестр
Аудиторная контрольная работа №3 (стереометрия)		№9 от 01.01.2001
Домашняя контрольная работа №3 (аналитическая геометрия в пространстве)		№9 от 01.01.2001
Вопросы к коллоквиуму №2 (геометрия в пространстве)		№9 от 01.01.2001
Модуль 4 (Геометрические преобразования), четвертый семестр
Аудиторная контрольная работа №4 (движения)		№9 от 01.01.2001
Домашняя контрольная работа №4 (подобия)		№9 от 01.01.2001
Вопросы к коллоквиуму №3 (аффинные и инверсные преобразования)		№9 от 01.01.2001
Вопросы к экзамену №2(геометрия в пространстве, геометрические преобразования)		№9 от 01.01.2001

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

(все построения выполнить в среде «Живая геометрия»)

Вариант 11.

1. Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведенной к гипотенузе.

2. Постройте ромб по стороне и диагонали.

3. Постройте параллелограмм по двум сторонам и высоте, проведенной к большей из них.

4. Постройте отрезок х = .

Вариант 12.

1. Постройте прямоугольный треугольник по катету и биссектрисе, проведенной ко второму катету.

2. Постройте ромб по углу и диагонали, выходящей из данного угла.

3. Постройте параллелограмм по диагонали и углу между ними.

4. Постройте отрезок х = .

Вариант 13.

1. Постройте прямоугольный треугольник по катету и биссектрисе, проведенной к гипотенузе.

2. Постройте ромб по диагонали и высоте, выходящим из одной вершины.

3. Постройте параллелограмм по двум сторонам и диагонали.

4. Постройте отрезок х = .

Вариант 14.

1. Постройте прямоугольный треугольник по углу и высоте, проведенной к гипотенузе.

2. Постройте ромб по высоте и стороне.

3. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и одной из сторон.

4. Постройте отрезок х = .

АУДИТОРНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Вариант 1.

1. В прямоугольном треугольнике длины двух медиан, проведенных к катетам, равны 12 и . Найдите длину гипотенузы.

2. В треугольнике АВС, АВ = ВС = а, АС = b, АК и СМ – биссектрисы. Найдите МК.

3. В треугольнике АВС АВ = 15, АС = 10, АD – биссектриса. Через точку D проведена прямая, параллельная АВ до пересечения с АС в точке Е. Найдите АЕ и ЕС.

4. В треугольнике АВС медиана, проведенная из вершины А к стороне ВС, в четыре раза меньше стороны АВ и образует с ней угол в 60º. Найдите наибольший угол треугольника АВС.

Вариант 2.

1. Проекции катетов на гипотенузу равны 15 и 5. Найдите больший катет и высоту, проведенную к гипотенузе.

2. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 4, найдите основание треугольника, если медиана, проведенная к боковой стороне равна 3.

3. BD – биссектриса треугольника АВС. Найдите отрезки AD и DC, если АВ = 10, ВС = 15, АС = 20.

4. Медианы треугольника имеют длины 9, 12 и 15. Найдите площадь треугольника.

Вариант 3.

1. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна , а один из катетов равен 8. Найдите второй катет и гипотенузу.

2. Найдите длину боковой стороны равнобедренного треугольника, если длина основания равна 30, а длина высоты, проведенной к боковой стороне, равна 20.

3. В треугольнике АВС биссектриса АЕ пересекает высоту ВD в точке О. Найдите сторону АС, если ВО = 7,5, OD = 4,5, ВЕ : ЕС = 5 : 7.

4. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до его вершин, если стороны треугольника равны 5, 6 и 8.

Вариант 4.

1. Один катет прямоугольного треугольника равен 3, а проекция этого катета на гипотенузу равна 2,25. Найдите гипотенузу.

2. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и боковой стороне, соответственно равны 5 и 6. Найдите длину боковой стороны.

3. В треугольнике АВС биссектрисы BD и АЕ пересекаются в точке О. Найдите сторону АС, если АВ = 12, АО:ОЕ = 3:2 и AD : DC = 6 : 7.

4. Найдите углы, образованные медианой ВЕ треугольника АВС со сторонами АВ и ВС, если АВ = 6, ВС = 8, ВЕ = 5.

ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ №1

1.  Аксиомы конструктивной геометрии, элементарные построения, методика решения задач на построение, пример.

2.  Геометрические места точек, решение задач на построение методом пересечения множеств (метод ГМТ), пример.

3.  Алгебраический метод решения задач на построение, пример. Построение отрезков заданных формулами, пример.

4.  Три классические задачи древности, не разрешимые циркулем и линейкой.

5.  Золотое сечение, золотой прямоугольник, золотой треугольник.

6.  Теорема Птолемея (с доказательством), теорема косинусов для выпуклых четырехугольников.

7.  Теорема Анищенко (с доказательством), теоремы Чевы и Менелая.

8.  Биссектрисы треугольника, свойства и признаки.

9.  Медианы треугольника, свойства.

10.  Высоты треугольника, свойства.

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

ВАРИАНТ 1.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

1. 4x2-4xy+y2+8x-4y-5=0

2. 2ay+3x-y-2=0

ВАРИАНТ 2.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

1. x2+2xy+y2+x+3y =0.

2. 4xy+3y2+16x+12y-36=0.

ВАРИАНТ 3.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

1. x2-2xy+y2-10x-6y+25=0.

2. 3x2+2xy-y2+8x+4y-8=0.

ВАРИАНТ 4.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

1. 2x2-3xy+y2+11x-8y+15=0.

2. 9x2-24xy+16y2-20x+110y-50=0.

ВАРИАНТ 5.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

1. 4x2-4xy+y2-x-2=0.

2. 6xy+8y2-12x-26y+11=0.

ВАРИАНТ 6.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

1. x2-4y2+6x+8y+5=0.

2. 5x2+6xy+5y2 -2x+4y+1=0.

ВАРИАНТ 7.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

1. x2+4xy+4y2-x-2y-2=0.

2. 3x2-8xy+3y2+x-2y+2=0.

ВАРИАНТ 8.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

1. x2-4xy+4y2-3x+y+2=0.

2. 5x2+4xy+8y2-32x-56y+80=0.

ВАРИАНТ 9.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

1. x2-2y+y2+3x-3y=0.

2. 5x2+12xy-22x-12y-19=0.

ВАРИАНТ 10.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

1. 2x2-5xy+3y2+16x-19y+30=0.

2. 5x2+8xy+5y2-18x-18y+9=0.

ВАРИАНТ 11.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

9x2+24xy+16y2-230x+110y-475=0.

2. 5x2+6xy+5y2-16x-16y-16=0.

ВАРИАНТ 12.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

4x2-12xy+9y2+12x-18y+5=0.

2. 6xy-8y2+12x-26y-11=0.

ВАРИАНТ 13.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

x2-2xy+y2-10x-6y+25=0.

2. 7x2+16xy-23y2-14x-16y-218=0.

ВАРИАНТ 14.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

x2-4xy+4y2-8x+16y+15=0.

2. 7x2-24xy-38x+24y+175=0.

ВАРИАНТ 15.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

9x2+24xy+16y2-40x+30y=0.

2. x2-5xy+4y2+x+2y-2=0.

ВАРИАНТ 16.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

4x2-12xy+9y2-2x+3y-2=0.

2. 2x2+4xy+5y2-6x-8y-1=0.

ВАРИАНТ 17.

Уравнения линий привести к каноническому виду и построить их:

1. x2+2xy+y2-8x+4=0.

2. 4xy+3y2+12y-36=0.

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

Даны точки А, В, С, D координатами своих вершин в прямоугольной декартовой системе координат.

1.  Доказать, что точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.

2.  Найти площадь треугольника АВС.

3.  Определить вид треугольника АВС.

Найти:

4.  S полной поверхности тетраэдра.

5.  Объем тетраэдра.

6.  Высоту тетраэдра DH.

7.  Координаты точки Н.

8.  Высоту DT грани АВD.

9.  Координаты точки Т.

10.  Угол наклона ребра DA к плоскости АВС.

11.  Величину двухгранного угла DABC.

12.  Радиус и координаты центра Р сферы, описанного около тетраэдра. Написать уравнение этой сферы.

13.  Найти координаты точки М – центра тяжести тетраэдра, предварительно доказав, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 3:1, считая от вершины (медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину с центром тяжести противоположной грани).

14.  Построить в прямоугольной декартовой системе координат:

1.  тетраэдр АВСD;

2.  точки N, T, P, M;

3.  показать на чертеже

1.  ∟ (AD, (ABC)); 2) линейный угол двугранного угла DABC.

15.  Найти r (АВ, СD).

1) A(2;0;1) B(2;2;0) C(-1;1;-1) D(1;-1;3)

2) (-2;0;1) (2;2H;0) (-1;1;-1) (2;-1;3)

3) (2;1;0) (-1H;1;1) (1;-1;0) (1;-1;3)

4) (-2;0;1) (-2;1;1) (1;-2;0) (2;-1;3)

5) (3;2;0) (0;2;1) (1;1;3) (-2;1;-3)

6) (3;-2;0) (0;2;1) (1;1;3) (2;-1;3)

7) (3;2;0) (-1;2;3) (1;-1;0) (-2:1;-3)

8) (3;-2;0) (-1;2;3) (1;-1;0) (2;-1;3)

9) (2;0;1) (-1;2;3) (1;-1;0) (2;-1;3)

10) (-20;1) (-1;1;1) (1;1;т.3) (2;-2;3)

11) (0;2;1) (2;2;0) (1;-1;-1) (-1;1;3)

12) (0;-2;1) (2H;2;0) (1;-1;-1) (-1;2;3)

13) (1;2;0) (1;-1H;1) (-1;1;0) (-1;1;3)

14) (0;-2;1) (1;-2;1) (-2;1;0) (-1;2;3)

15) (2;3;0) (2;0;1) (1;1;3) (1;-2;-3)

16) (-2;3;0) (2;0;1) (1;1;3) (-1;2;3)

17) (2;3;0) (2;-1;3) (-1;1;0) (1;-2;-3)

18) (-2;3;0) (2;-1;3) (-1;1;0) (-1;2;3)

19) (0;2;1) (2;-1;3) (-1;1;0) (-1;2;3)

20) (0;-2;1) (1;-1;1) (1;1;т.3) (-2;2;3)

21) (1;0;2) (0;2;2) (-1;1;-1) (3;-1;1)

22) (1;0;-2) (0;2H;2) (-1;1;-1) (3;-1;2)

23) (0;1;2) (1;1;-1H) (0;-1;1) (3;-1;1)

24) (1;0;-2) (1;1;-2) (0;-2;1) (3;-1;2)

25) (0;2;3) (1;2;0) (3;1;1) (-3;1;-2)

26) (0;-2;3) (1;2;0) (3;1;1) (3;-1;2)

27) (0;2;3) (3;2;-1) (0;-1;1) (-3;1;-2)

28) (0;-2;3) (3;2;-1) (0;-1;1) (3;-1;2)

29) (1;0;2) (3;2;-1) (0;-1;-1) (3;-1;2)

30) (1;0;-2) (1;1;-1) (т.3;1;1) (3;-2;2)

Вопросы к экзамену – 1.

1.  Векторы и действия над ними

2.  Скалярное произведение векторов, определение, свойства.

3.  Вывод формулы скалярного произведения через координаты, некоторые формулы.

4.  Векторное произведение векторов, определения, свойства.

5.  Вывод формулы векторного произведения через координаты.

6.  Смешанное произведение, определение, свойства.

7.  Геометрический смысл смешанного произведения векторов

8.  Уравнение прямой на плоскости

9.  Уравнение прямой в пространстве.

10.  Уравнение прямой через две точки.

11.  Уравнение прямой с нормальным вектором N.

12.  Нормальное уравнение прямой.

13.  Нормальное уравнение плоскости.

14.  Уравнение плоскости с нормальным вектором.

15.  Общее уравнение плоскости. Теорема.

16.  Частные виды уравнения прямой на плоскости.

17.  Частные виды уравнения плоскости в пространстве.

18.  Исследование общего уравнения прямой в R2.

19.  Исследование общего уравнения плоскости в R3.

20.  Взаимное расположение двух прямых (плоскостей).

21.  Взаимное расположение трех прямых (плоскостей).

22.  Расстояние от точки до прямой в R2.

23.  Расстояние от точек до плоскости R3.

24.  Взаимное расположение прямых в пространстве.

25.  Расстояние между скрещивающимися прямыми.

26.  Взаимное расположение прямой и плоскости в R(3).

27.  Уравнение прямой в пространстве, как пересечение двух плоскостей.

28.  Эллипс. Определения, основные свойства, уравнения и построение.

29.  Гипербола. Определения, основные свойства, уравнения и построение.

30.  Парабола и др. Определения, основные свойства, уравнения и построение.

31.  Формулы перехода от одной системы координат к другой. Примеры.

32.  Приведение линии 2-го порядка к каноническому виду.

33.  Классификация линий 2-го прядка. Уравнение линий второго порядка в полярной системе координат.

34.  Поверхности. Поверхности вращения. Тор.

35.  Цилиндрические поверхности.

36.  Конические поверхности.

37.  Поверхности второго порядка. Эллипсоиды (сфера).

38.  Гиперболоиды

39.  Параболоиды.