Примеры (стр. 2 )

или .

Пример. Изобразить векторы z и iz.

Решение: Пусть . Так как , то, по формуле умножения комплексных чисел в тригонометричес­кой форме, получим (учитывая, что)

.

После умножения на i модуль комплексного числа не изменяется, а аргумент увеличивается на . Следовательно, умножению на i соответствует поворот вектора z на угол против часовой стрелки.

Примеры.

1. Найдите .

Решение: Приведем основание степени к тригонометрической форме:

После этого по формуле возведения в степень получим

Или

.

Заметим, что приведение основания к тригонометрической форме можно было бы осуществить и по другому. А именно, записав

Пo формуле деления получили бы прежний результат

2. Выразить и через и .

Решение: По формуле Муавра имеем

Развернув левую часть по формуле возведения двучлена в 3-ю сте­пень, получим

Или

На оснований определения равенства двух комплексных чисел отсюда следуют соотношения

,

sin 3<p = 3 cos2 <p sin ip ~ sin <p.

Примеры.

1. Найти.

Решение: Так как , то согласно общей формуле получим 4 значения w:

2. Найти.

Решение: Так как , то

Итак,

3. Вывести формулу решения квадратного уравнения в комплекс­ной области

Решение: Уравнение преобразуем следующим образом (считаем)

.

Обозначив, как обычно, дискриминант, будем иметь Рассмотрим три случая, a) D >0, или . Уравнение имеет два вещественных корня:

и

b) D<0, в этом случае . Имеем

.

Отсюда или, На основании предыдущего примера запишем . Уравнение имеет два комплексных корня

и

с) D=0. . Уравнение имеет один вещественный корень

В этом случае для сохранения общности условились говорить, что квадратное уравнение имеет кратный корень, то есть, два совпада­ющих корня

Примеры.

1. Представить в показательной форме комплексное число.

Решение: Модуль комплексного числа z ранен ,

2.Какая линия плоскости комплексного переменного определяется уравнением

, ?

Решение: Так как в данном случае, .то уравнению

,

на плоскости комплексного переменного соответствует единичного радиуса, поскольку все точки z дайной линии обладают свойством r=1, т. е. равноудалены от начала координат. Геометрическое место таких точек окружность, с центром в начале координат.

Задачи для самостоятельного решения.

Найти действительные числа х и у из уравнений:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. (0,5+0,1i)(1-i)

8. 9.

10. 11.

12. 13

14. 15.

16. 17.