Примеры (стр. 4 )

110. 111. 112. 113. 114. 115.

116. 117. 118. 119. 120. 121.

122. 123. 124. 125. 126. 127.

Выразить с помощью уравнений и неравенств области:

128.  Сегмент, ограниченный окружностью радиуса r = 3 с центром в точке z = i и прямой у=2

129.  Сегмент, ограниченный окружностью радиуса r = 3 с центром в начале координат и прямой х = 1

130.  Кольцо с центром в точке r = 2 + 2i и радиусами r = 1, R = 2

131.  Плоскость, расположенную выше прямой у = -2

132.  Полосу, расположенную между прямыми х = 2, x = 4

Нависать в комплексной форме уравнения следующих линий:

133. Координатных осей Ох и Oу

134. Прямой y=x

135. Прямой у = -x

136. Окружности x2 + у3 + 2x = 0

137. Равновесной гиперболы

138. Прямой y=kx+b,

Разные задачи

139. Как изменятся модуль и аргумент комплексного числа z в результате умно­жения этого числа на:

a) i, b) –i, c) , d) -5, e) 4, f) ?

140.Как изменятся модуль и аргумент комплексного числа z в результате деления этого числа на:

a) i, b) -2i, c) d) ?

141.Доказать, что если и , то точки, являются вершинами правильного треугольника, вписанного в единичную окруж­ность.

142. Указать, где расположены точки, изображающие комплексные числа z, для которых

Примеры.

1. Найти образ точки z = 2i при отображении

Решение: При z = 2i имеем

Точка z = 2i при отображении переходит в точку .

2. Найти образ полосы 1 < Re z < 2 а) при отображении b)при отображении w = z2

Решение:

Применим метод, наиболее часто использующийся при решении задач подобного рода. Сначала выясним, в какую линию переходит при рассматриваемом отображении прямая z = с, затем определим, какую область плоскости w заполняют образы прямых х = с при 1< с<2.

а) Начнем с отображения . Полагая z = x + iy, w = u + iv, получим или . Запишем равносильную систему равенств

При х = с система примет вид

Исключив из этой системы у, придем к уравнению линии плоско­сти w, которая является образом линии x = c. О этой целью возве­дем оба уравнения в квадрат и сложим. После сокращения на с2 + у2 получаем, соотношение . На основании этого соотноше­ния первое уравнение системы приводится к виду

При отсюда получаем

Это — уравнение окружности на плоскости w. Центр окружности находится в точке , радиус равен .

Линия х = 1 (с = 1) отображается на окружность с центром в точке радиуса R =.

Линия х = 2 (с = 2) отображается на окружность с центром в точке радиуса R = .

Полоса 1 < х < 2 перейдет в область, ограниченную двумя указан­ными окружностями

b) Теперь, таким же образом, исследуем отображение w = z2 .

Имеем или

Отсюда

Положим x = c

Из второго уравнения определяем у и подставляем. его выражение в первое уравнение. Получим

При это уравнение определяет на плоскости w параболу, симметричную относительно оси Ои.

Линия х = 2 (с = 2) отображается на параболу . Линия x = 1 (с = 1) отображается на параболу . Полоса 1 < х < 2 перейдет в область, ограниченную двумя указанными параболами.

3) Найти образ угла . а) при отображении b) при отображении

Решение: Применяя тот же метод исследования, что и в преды­дущем примере, выясним сначала, в какую линию при рассматри­ваемом отображении переходит луч arg 2 == <p, а затем определим, какую область заполняют образы лучей при .