Примеры (стр. 5 )

а) Начнем с отображения . В этом случае удобно восполь­зоваться тригонометрической формой записи комплексного числа. Положим

,

На основании формулы деления комплексных чисел в тригономе­трической форме из равенства следует

, (k = 0, ±1, ±2,...,),

или, если ограничиться лишь главными значениями аргумента: , . При будем иметь . Луч плоскости z отображается на луч плоскости w. Следова­тельно, угол будет отображаться на угол

b) Перейдем к отображению Из этого равенства на основа­нии формулы возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме следует: , , если ограничиться лишь главными значениями аргументов.

Луч отображается на луч . Значит, угол , отобразится на угол

Отметим некоторые частные случаи, a)

Угол отображается на угол

1. При каких значениях z функция ch z принимает вещественные значения?

Решение: . Положив z = x + iy, где х, у - веществен­ные числа, будем иметь

или

Значение ch z будет вещественным, при

то есть либо при , либо при sin у = 0. Из первого условия следует ,

, х = 0,

так как здесь х - вещественное число. Из второго условия получаем

, n = 0, ±1, ±2, ...

Итак, chz принимает вещественные значения в том случае, если z либо чисто мнимое число, либо если мнимая часть комплексного числа z имеет вид

, где n = 0, ±1, ±2, ...

На комплексной плоскости точки z указанного вида располагают­ся на координатных осях и на прямых указанного на чертеже вида.

2. Доказать, что в комплексной плоскости остается в силе со­отношение

.

Решение:

Так как ,

то

что и требовалось доказать.

3. Найти .

Решение: По определению общей степени . Так , , то согласно формуле логарифмической функции

, k = 0, ±1, ±2,...,

Отсюда

, k = 0, ±1, ±2,...,

Интересно обратить внимание на то, что все значения веществен­ны.

4. Решить уравнение sin z = 5

Решение: Как известно из тригонометрии, вещественных реше­ний это уравнение не имеет.

Для нахождения комплексных решений запишем уравнение в ви­де

После простых преобразований получим Сделав замену , придем к квадратному уравнению , решения которого определяются формулой . Отсюда

.

Вернемся к переменной z:

Из этого уравнения находим общую формулу корней

.

Так как оба значения положительны, то

,

Согласно определению логарифмической функции получаем
k = 0, ±1, ±2,...

Заметим, что

Формулу корней уравнения sin z = 5 можно записать в виде

Вычислить значения функций :

180. соs(2 - i) 181. соs(1 + i) 182. sin 2i

183. sh(2 + 3i) 184. 185. 186. 187. Ln (1 + 7i) 188. 189. 190.

Решить уравнение

191.cos z = 0 192. sin z = 3i

При каких значениях г следующие функций принимают только а) действительные значения; b) чисто мнимые значения?

193. соs z 194. sin z 195. 196. sh z

Отделить действительную и мнимую части

197. 198. 199. w = соs z + i

200. 201. w = ch z 202. cos z = 0

Доказать тождества

203. 204.

205. 206. ch iz = cos z

207. sh iz = i sin z 208. sin 2z = 2 sin z cos z

209. thz = - i tg i z 210.

211.

212. , k = 0, ±1, ±2,...

1.В каких точках функция f(z)= z Re z имеет производную?
Решение: Положим z = x + iy, тогда .
Имеем , v = ху. Отсюда