Примеры (стр. 6 )

Условия Коши-Римана запишутся в виде:

2х = х, 0 = -у, или x = 0, у = 0.

Функция имеет производную лишь в точке z = 0.

2. Показать, что функция

является аналитической на всей плоскости комплексного перемен­ного. Найти f'(z).

Решение: Дифференцируемость функций

и(х, у) = ху и

на всей комплексной плоскости очевидна.

Проверим выполнение условий Коши-Римана. Имеем

Соотношения

справедливы при всех значениях х и у. Производная f’(x) существу­ет в любой точке комплексной плоскости. По формуле

получаем f’(z) = у - хi .

3.Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции

Решение: Положим , тогда .

Здесь

, ,

,

Условия

выполняются.

Из условий Коши-Римана для функций и(х, у) и v(x, у) следуют соотношения

Функции, удовлетворяющие таким соотношениям называются гармоническими.

Таким образом, если функция является аналитической в некоторой области G ,то ее вещественная и мнимая части u(x,y) и v(x,y) - гармонические функции в области G.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Функции и(х, у) и v(x,y) могут быть гармоническими в области G и не быть связан­ными в этой области соотношениями Коши-Римана.

Пример. Показать, что функции u(x,y)=x+y и v(x,y)=x-y гармонические на всей плоскости, но функция f(z)=x+y+(x-y)i ни в одной точке не является аналитической.

Решение. Функции u(x,y) и v(x,y) являются гармоническими по той причине, что

Проверим выполнение условий Коши-Римана. Имеем

Соотношения

не выполняются ни в одной точке. Функция f(z) ни в одной точке не является аналитической.

Если две гармонические функции u(x,y) и v(x,y) связаны усло­виями Коши-Римана, то их называют сопряженными гармонически­ми функциями.

Пусть задана гармоническая функция и(х,у). Нахождение сопря­женной гармонической функции v(x,y) равносильно восстановлению функции двух переменных по ее полному дифференциалу. В самом деде, если известна гармоническая функция u(х, у), то можно найти и .Вследствие гармоничности функции и(х, у) выражение

является полным дифференциалом некоторой функции v(x, у). Запи­шем это выражение в виде

используя равенства

Функция v(x, у), определяемая из полученного соотношения с точностью до постоянного слагаемого, связана с функцией и(х, у) условиями Коши-Римана и, следовательно, является сопряженной гармонической фун­кцией для функции u(х, у).

Пример. Найти аналитическую функцию f(z) = и(х, у)+v(х, y)i , если

.

Решение. Функции u(х, у) и v(х, у) должны быть связаны усло­виями Коши-Римана. Имеем

На оснований первого соотношения Коши-Римана записываем:

Восстанавливаем функцию v(x, у) по ее частной производной по у:

.

Из полученного равенства следует:

Так как

то из второго соотношения Коши-Римана имеем:

и .

Итак,

Следовательно, существует бесчисленное множество аналитических функций, вещественная часть которых совпадает с заданной гармони­ческой функцией

.

В заключение сделаем следующее замечание. Так как опреде­ление производной функции комплексного переменного совершенно аналогично с формальной стороны соответствующему определению для функции действительного переменного, то все известные, из диф­ференциального исчисления правила дифференцирования легко мо­гут быть перенесены в комплексную область.

Проверить выполнение условий Коши-Римана и там, где они выполняются, найти производную:

213. 214. 215. 216.

217. 218.

219. 220.

221. 222.

223.

224.

Найти аналитическую функцию f(z) = u(х, у)+v(х, y)i, если:

225.

226.

227. ,

228.

229.

230.

231.

232.

233.

234.

235.

236. ,

237.

238.

239. ,