Примеры (стр. 1 )

Примеры.

1. Найти сумму, разность, произведение и частное чисел и

Решение:

,

.

.

Для того, чтобы представить частное в алгебраической форме (то есть, найти два вещественных числа х и y определяющих искомое комплексное число), следует числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное знаменателю

2. Найти комплексное число 2, удовлетворяющее условию

Решение: Положив z = x + i y, получим

или .

Перенесем все члены уравнения в левую часть . Согласно определению, это равенство равносильно системе уравне­ний

Решение системы, , В алгебраической форме искомое число z имеет вид

Примеры

1.  Найти . Имеем . Значит, .

2.Найти . Имеем . Значит . Можно было бы поступать и по-другому: .

Примеры.

1. Дать геометрическое описание множества .
(Приведенная запись означает, что G - это множество комплекс­ных чисел z, удовлетворяющих условию .

Решение: Так как модуль комплексного числа z равен расстоянию от качала координат до точки, изображающей это число, то множе­ство G - это внутренность круга радиуса R с центром в начале координат (граница круга не входит а множество G).

2.  Какая область плоскости комплексного переменного соответст­вует множеству

?

Решение: Имеем

,

.

Неравенство равносильно неравенству или .

После несложных преобразований получаем .Область G — внутренность круга радиуса 1 с центром в точке (0,1).

3.  Какая область плоскости комплексного переменного соответст­вует множеству

?

Решение: На основании предыдущего примера,

.

Система неравенств, определяющих область G, равносильна системе

.

Или, что тоже самое, системе

Последнею систему легко преобразовать к виду

Итак, область G заключена между окружностью с центром в точ­ке (1,1) радиуса и окружностью с центром в точке (2,2) радиу­са (На рисунке - заштрихованная область).

4. Какой геометрический образ на плоскости комплексного пере­менного соответствует уравнению ?

Решение: Уравнение можно записать в виде

На основании геометрического смысла модуля разности двух ком­плексных чисел приходим к выводу, что уравнению соответствует множество точек z, равноудаленных от точек и . Этим множеством, является перпендикуляр, проведенный к отрез­ку через его середину.

Легко найти уравнение этого перпендикуляра. Обозначив z = x + i y получим

Следовательно, уравнение равносильно уравнению

Возводя обе части в квадрат, будем иметь

или

.

Пример.

1.Изобразить векторами комплексные числа

Решение: Как было отмечено выше, вектор, изображающий комплексное число, не обязательно должен откладываться от нача­ла координат. Эти же четыре комплексные числа в векторной форме можно было бы изобразить, например, следующим образом:

2. Изобразить векторами комплексные числа 3-i, -4 .
Решение: Отложим векторы от начала координат. Тогда концы их будут находиться соответственно в точках (2,3), (3,-1), (-4,0).

3. Дано некоторое комплексное число. Изобразить векторами числа a) z + i b) z-2+i

Решение: а) Отложим вектор z от начала координат, вектор z можно представить себе как перемещение точки O. в положение А. Затем из точки А отложим вектор i, перемещающий точку А в положение В. Вектор z+i перемещает точку О в положение В. Его можно рассматривать как композицию двух перемещений z и i.

b) Запишем: . Дальнейшие рассуждение полностью аналогичны предыдущему.

.

Примеры.

1.  Число z=-2+2i записать в тригонометрической форме.
Решение: Здесь х = -2, у + 2 следовательно, ;

Главное значение аргумента . Получаем

2.  Число z = 4(cos 570° + i sin 570°) записать в алгебраической форме.

Решение