Лекция 11

5. Аналитическая геометрия в пространстве.

5.1 Плоскость. Основные уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Аксиома 1:

Через три точки в пространстве , не лежащих на одной прямой, можно провести единственную плоскость.

Аксиома 2:

Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Рисунок 5.1 Компланарные векторы, принадлежащие плоскости .

Смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю − условие компланарности трех векторов:

.

Смешанное произведение указанных векторов в координатной форме задает уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

.

Пример. Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки: .

Решение.

.

Ответ: Уравнение плоскости: .

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Общее уравнение плоскости.

Вектор перпендикулярный некоторой плоскости называют её нормальным вектором

Аксиома:

Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен нормальному вектору =.

Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю − условие ортогональности двух векторов:

.

Записав скалярное произведение указанных векторов в координатной форме, получим искомое уравнение плоскости:

.

Из данного уравнении получим общее уравнение плоскости:

.

Здесь А, В, С − координаты нормального вектора, , − координаты заданной точки.

Замечание. Плоскость задается уравнением первого порядка с тремя переменными: =0.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пример. Привести уравнение плоскости к общему виду и найти её нормальный вектор.

Решение.

Разложим определитель по элементам первой строки:

;

;

;

.

Ответ: − общее уравнение плоскости;

− нормальный вектор.

5.2 Прямая в пространстве.

Прямая, проходящая через две заданные точки

− две данные точки. Прямая, проходящая через эти две точки задается двумя уравнениями:

или .

Прямая, проходящая через заданную точку параллельно заданному вектору

Пусть задана точка и направляющий вектор , тогда прямую можно представить двумя уравнениями:

или

Прямая, как линия пересечения двух плоскостей, заданных общими уравнениями

Пусть две пересекающихся плоскости и заданы своими общими уравнениями. Тогда прямую в пространстве можно задать системой:

Здесь − координаты нормального вектора плоскости ;

− координаты нормального вектора плоскости

5.3 Поверхности второго порядка.

Цилиндры

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат.

Цилиндрами называют поверхности, образованные прямыми линиями (образующими) параллельными одной из осей координат, при их движении по кривой (направляющей), расположенной в плоскости перпендикулярной данной оси.

В зависимости от формы направляющей различают эллиптические, круговые, гиперболические и параболические цилиндры.

Рисунок 5.2 Эллиптический цилиндр

Направляющей эллиптического цилиндра является эллипс, он виден на рисунке 5.2 в сечении цилиндра плоскостями перпендикулярными координатной оси . Образующие этого цилиндра параллельны оси , а ось является его осью симметрии.

Каноническое уравнение эллиптического цилиндра, изображенного на рисунке 5.2.:

.

Здесь − полуоси эллипса, лежащего в сечении цилиндра плоскостью .

Если , то будем иметь круговой цилиндр.

Каноническое уравнение эллиптического цилиндра с осью симметрии совпадает по форме с уравнением эллипса, расположенного в плоскости . В это уравнение не входит переменная z, поэтому если точка удовлетворяет уравнению цилиндра (лежит на его поверхности), то этому уравнению удовлетворяют также все точки с координатами (), где − любое число.

Цилиндр, направляющей которого является гипербола, называют гиперболическим. Гипербола лежит в сечении гиперболического цилиндра.

Рисунок 5.3 Гиперболический цилиндр

Каноническое уравнение гиперболического цилиндра с осью симметрии , изображенного на рисунке 5.3:

.

Здесь a, b − действительная и мнимая полуоси гиперболы, лежащей в сечении гиперболического цилиндра.

Цилиндр, направляющей которого является парабола, называют параболическим. Парабола лежит в сечении параболического цилиндра.

Рисунок 5.4 Параболический цилиндр

Каноническое уравнение параболического цилиндра с осью симметрии , изображенного на рисунке 5.3:

Здесь 2р − фокальный параметр параболы, лежащей в сечении параболического цилиндра.

Эллипсоид

Эллипсоидом называют поверхность, которая в прямоугольной декартовой системе координат определяется каноническим уравнением:

.

Здесь − главные полуоси эллипсоида.

Точки пересечения поверхности эллипсоида с осями координат называют его вершинами. Эллипсоид имеет шесть вершин (рисунок 5.5)

Если в каноническом уравнении принять , то получим сечение эллипсоида координатной плоскостью .

В этой плоскости имеем эллипс, с полуосями а и b: .

Если в каноническом уравнении принять , то получим сечение эллипсоида координатной плоскостью .

В этой плоскости имеем эллипс, с полуосями b и с: .

Аналогично, если принять , то получим сечение эллипсоида плоскостью .

В этой плоскости имеем эллипс, с полуосями а и с: .

Эти три эллипса называют главными сечениями эллипсоида (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5 Эллипсоид

Однополостный гиперболоид

Однополостный гиперболоид − это поверхность, каноническое уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

Координатные оси являются осями симметрии, а начало координат − центр симметрии.

Рисунок 5.6 Однополостный гиперболоид

Рассмотрим главные сечения однополостного гиперболоида.

Сечение координатной плоскостью :

Из уравнений видим, что в сечении лежит эллипс с полуосями а и b.

Сечение координатной плоскостью :

В сечении гипербола с действительной осью Оу и мнимой − Оz.

Сечение координатной плоскостью :

В сечении гипербола с действительной осью Ох и мнимой − Оz.

Двуполостный гиперболоид

Двуполостный гиперболоид − это поверхность, каноническое уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

Координатные оси являются осями симметрии, а начало координат − центр симметрии.

Рисунок 5.7 Двуполостный гиперболоид

Рассмотрим главные сечения двуполостного гиперболоида и :

,

Из уравнений видим, что в сечениях лежат гиперболы.

Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид − это поверхность, каноническое уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

.

Рассмотрим главные сечения эллиптического параболоида и :

в сечении парабола, р − её фокальный параметр;

в сечении парабола, q − её фокальный параметр.

Рисунок 5.8 Эллиптический параболоид

В сечениях эллиптического параболоида плоскостями параллельными координатной плоскости лежат эллипсы:

или Здесь .

Гиперболический параболоид

Эллиптический параболоид − это поверхность, каноническое уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

.

Можно показать, что в главных сечениях (у=0) и (х=0) лежат параболы, в сечении (z=0) − пара пересекающихся прямых, а в сечениях плоскостями − гиперболы (рисунок 5.9).

Рисунок 5.9 Гиперболический параболоид