Теория нечетких множеств (стр. 1 )

2 Теория нечетких множеств

Формализация нечетких исходных данных

Рассмотрим формализацию нечетких исходных данных

Если точное планируемое значение каких-либо параметров проекта неизвестно, тогда в качестве исходных данных уместно использовать так называемые треугольные нечеткие числа с функцией принадлежности; следующего вида (рисунок 4).

Эти числа моделируют высказывание следующего вида: параметр А приблизительно равен а и однозначно находится в диапазоне ([ 0,1;0,5]).

Рисунок 3 - Функция принадлежности треугольного нечеткого числа А.

В общем случае под нечетким числом понимается нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности. Такое описание позволяет разработчику инвестиционного проекта взять в качестве исходной информации интервал параметра и наиболее ожидаемое значение , и тогда соответствующее треугольное число построено.

Далее будем называть параметры значимыми точками треугольного числа с функцией принадлежности:

(1)

Таким образом, исходные данные о проектах будут задаваться в виде нечетких треугольных чисел, вида , где параметры с индексами min и max обозначают границы интервала значений параметра, а параметр с чертой – наиболее ожидаемое значение параметра.

Для проведения вычислений с помощью нечетких чисел будем использовать сегментный способ.

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности а (рисунок 9 ) и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам и : и соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами – границами интервалов:

операция “сложения”:

,

операция “вычитания”:

,

операция “умножения”:

,

операция “деления”:

,

операция “возведения в степень”:

.

Исходные данные инвестиционного процесса будем формализовывать с помощью нечетких величин:

-  параметры проекта и инвестиционной программы (составляющие денежного потока (цена, выручка от реализации, налоги и др.), количественные и качественные характеристики проекта, важность критериев, NPV инвестиционной программы) представляются треугольными нечеткими числами;

-  предпочтения инвестора представим в виде нечетких множеств с кусочно-линейными z - или 5-подобными функциями принадлежности.

Предложенный способ позволяет сформулировать задачу анализа инвестиционных проектов в терминах аппарата нечетких множеств.

2.1 Разработка моделей и методов оценки эффективности инвестиционных проектов в условиях нечетких исходных данных

В данном разделе будут предложены модели и методы оценки эффективности инвестиционных проектов в условиях нечетких исходных данных, а также предложены схема формирования денежных потоков ИП, способ описания нечетких исходных данных, модели и методы оценки эффективности реальных инвестиционных проектов:

-  модель и метод оценки абсолютной эффективности реальных инвестиционных проектов;

-  модель и метод оценки сравнительной эффективности реальных инвестиционных проектов;

-  модель и метод формирования оптимальной инвестиционной программы в условиях ограниченных ресурсов.

Экспертные оценки альтернативных вариантов по критериям могут быть представлены как нечеткие множества или числа, выраженные с помощью функций принадлежности. Для упорядочения нечетких чисел существует множество методов, которые отличаются друг от друга способом свертки и построения нечетких отношений.

Метод многокритериального выбора альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения.

Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества представляется в форме отношения предпочтения. На основе пересечения исходных отношений предпочтения, определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив. Наилучшей альтернативой считается та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.

Выбор альтернатив с использованием правила нечеткого вывода.

Информация о предпочтениях ЛПР задана в виде нечетких суждений (лингвистических переменных). Набор из нескольких критериев с соответствующими значениями характеризует представления лица, принимающего решение об удовлетворительности альтернативы. Удовлетворительность альтернативы описывается нечетким множеством и определяется на основе композиционного правила вывода.

Для каждой альтернативы находится удовлетворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.

Анализ моделей и методов формирования оптимальной инвестиционной программы. Существует несколько моделей формирования оптимальной инвестиционной программы (таблица 5)

Таблица 5 – Модель формирования инвестиционной программы

Название модели	Функция цели
1) модель формирования оптимальной инвестиционной программы при заданном бюджете и программе производства	Максимизируется стоимость капитала инвестиционной программы
2) Статическая модель синхронного инвестиционно-финансового планирования	Максимизируется конечная стоимость имущества общей инвестиционной и финансовой программы
3) Одноступенчатая динамическая модель оптимизации принятия решений при синхронном инвестиционно-финансовом планировании	Максимизируется (стоимость капитала инвестиционной программы + стоимость капитала финансовой программы)
4) Многоступенчатая динамическая модель оптимизации принятия решений при синхронном инвестиционно-финансовом планировании	А) Максимизируется конечная стоимость имущества, представляющая собой положительное сальдо платежей в последний учитываемый момент времени планового периода Т. В) Если положительное сальдо в другие моменты времени учитываются в форме краткосрочных финансовых инвестиций, то максимизируется конечная стоимость имущества, которая интерпретируется как гипотетическая краткосрочная финансовая инвестиция.

Рассмотрим модели формирования инвестиционной программы поподробнее.

Модель формирования оптимальной инвестиционной программы при заданных бюджете и программе производства.

В данной модели в качестве целевой функции выступает стоимость капитала инвестиционной программы, причем здесь при заданных ограничениях (конкретной производственной программе для отдельных инвестиционных объектов и при наличии некоторых финансовых средств) требуется сформировать

и определить оптимальную инвестиционную программу.

Этот метод аналогичен методу стоимости капитала (см. гл. 9) при следующих допущениях:

а) представленные на выбор инвестиционные объекты равнозначимы для ЛПР;

б) финансовые средства нельзя привлечь в неограниченном размере по расчетной процентной ставке;

в) инвестиционная программа определяется только на начало планового периода, при этом начальные расходы не должны превышать капитальный бюджет, а инвестиционные объекты реализуются только как единое целое.

В целом модель имеет вид задачи целочисленного программирования:

Общая стоимость капитала

Требуемые финансовые средства

капитального бюджета (КБ)

где - бинарная переменная, значение которой определяет, будет ли реализована инвестиция () или нет () для всех альтернатив; - стоимость капитала инвестиционного объекта; - затраты на приобретение инвестиционного объекта; КБ – объем капитального бюджета.