Получили координаты точки максимума – 
:
.
Чтобы найти точку минимума, будем перемещать линию уровня в направлении противоположном вектору-градиенту до границы области допустимых решений (точка 
– точка минимума).
Найдем координаты точки . Составим систему уравнений из первого и третьего ограничений, т. к. точка лежит на пересечении 
и 
прямых:
Подставим координаты точки минимума в функцию цели:
.
Пример 2. С помощью геометрического метода решить задачу линейного программирования:
I этап – построение области допустимых решений системы ограничений.
Рассмотрим первое ограничение:
Пусть 
, тогда 
, получили точку 
.
Пусть 
, тогда 
, получили точку 
.
Обозначим на графике (рис. 3.2) прямую цифрой .
Возьмем контрольную точку 
. Подставим в неравенство:
.
Так как контрольная точка не удовлетворяет неравенству, то выбираем правую верхнюю полуплоскость.
Рассмотрим второе ограничение:
Пусть , тогда 0, получили точку .
Пусть 
, тогда 
, получили точку 
.
Обозначим на графике (рис. 3.2) прямую цифрой 
.
Контрольная точка 
. Подставим её в неравенство:
.
Так как контрольная точка удовлетворяет неравенству, то выбираем правую нижнюю полуплоскость.
Рассмотрим третье ограничение:
Пусть , тогда 
, получили точку 
.
Пусть 
, тогда 
, получили точку 
.
Обозначим на графике (рис. 3.2) прямую цифрой .
Контрольная точка .
.
Так как контрольная точка удовлетворяет неравенству, то выбираем левую верхнюю полуплоскость.
Рассмотрим четвертое ограничение:
Прямая, проходящая параллельно оси 
через точку 
.
Обозначим на графике прямую (рис. 3.2) цифрой 
.
Выбираем правую полуплоскость.
Cистема ограничений 
описывает первую четверть плоскости 
и положительные полуоси 
и 
.
Получили область допустимых решений, вершины которой обозначены: 
.
II этап – построение вектора-градиента.
Построим вектор-градиент по правилу
. Получим 
.
III этап –построение линии уровня 
.
Выберем точку 
, принадлежащую области допустимых решений. Например, 
. Вычислим значение функции в выбранной точке: 
. Построим линию уровня 
.
Рисунок 3.2.
IV этап – нахождение экстремумов целевой функции.
Чтобы найти точку максимума, будем перемещать линию уровня в направлении вектора-градиента до границы области допустимых решений. Граничная точка при таком движении будет точкой максимума (точка 
).
Найдем координаты точки :
Получили координаты точки максимума – 
:
.
Чтобы найти точку минимума, будем перемещать линию уровня в направлении противоположном вектору-градиенту. Поскольку область неограниченна справа, то конечного минимума не существует.
.
Пример 3. С помощью геометрического метода решить задачу линейного программирования:
I этап – построение области допустимых решений системы ограничений.
Рассмотрим первое ограничение:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
