Научный семинар Теория разностных схем (стр. 2 )

где - коэффициент температуропроводности. Без ограничения общности можно считать

в самом деле, вводя переменные получим

Мы будем рассматривать первую краевую задачу (иногда говорят: начально-краевую задачу) в области Требуется найти непрерывное в решение задачи

(3)

2.Некоторые свойства решений уравнения теплопроводности. В силу принципа максимума для решения задачи (3) имеет место оценка

(4)

Рассмотрим однородное уравнение с однородными краевыми условиями:

(5)

Решение этой задачи находится методом разделения переменных в виде

(6)

где и - собственные значения и ортонормированные собственные функции задачи

Равные

(7)

Причем

В самом деле, все частные решения (гармоники) удовлетворяют уравнению и краевым условиям (5). Из начального условия

(8)

находятся коэффициенты

Из (6) и (8) следует

так как

Таким образом, для решения задачи (5) верна оценка

(9)

Выражающая свойство асимптотической (при ) устойчивости задачи (5) по начальным данным. в силу возрастания с ростом начиная с некоторого момента , в сумме (6) будет преобладать первое слагаемое (первая гармоника), т. е. будет иметь место приближенное равенство

Эта стадия процесса называется регулярным режимом.

3.Разностные схемы. В области введем сетку

с шагами: по и по . Заменяя производную по разностным выражением

вместо (3) получим систему дифференциально-разностных уравнений (метод прямых)

с краевыми и начальными условиями

Для численного решения этой задачи, по аналогии с гл. , заменим производную по разностным отношением

правую часть возьмем в виде линейной комбинации значений при (на -м слое) и (на -м слое):

(10)

где - параметр, а -некоторая правая часть, например,

и т. д. Сюда надо присоединить дополнительные условия

(11)

Схема (10) определена на 6-точечном шаблоне

Рассмотрим явную схему на 4-точечном шаблоне:

(12)

Значения на -м слое находятся по явной формуле

В случае получаем полностью неявную схему-схему с опережением на шаблоне :

(13)

Для определения из (13) получаем краевую задачу

которая решается методом прогонки.

Часто используется симметричная неявная схема (иногда ее называют схемой Кранка-Николсона) с и шаблоном :

(14)

Значения на новом слое и в этом случае находятся методом прогонки для краевой задачи:

(15)

В общем случае (при любом ) схема (10) называется схемой с весами. При она неявная и определяется методом прогонки как решение задачи

(16)

Перейдем к изучению свойств схемы (10) с любым .

3. Методы построения разностных схем для дифференциальных уравнений

Разностные схемы для уравнения теплопроводности

1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области {0<x<1, 0< T} требуется найти ре­шение уравнения

(1.1.1)

удовлетворяющее начальному условию