Научный семинар Теория разностных схем (стр. 1 )

Қазақстан Республикасының Министерство

Білім және ғылым образования и науки

министрлігі Республики Казахстан

Д. Серікбаев атындағы ВКГТУ

ШҚМТУ им. Д. Серикбаева

УТВЕРЖДАЮ

декан ФИТЭ

_________

«___» _____________ 2014 г.

НАУЧНЫЙ СЕМИНАР

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Специальность: 6D060100 – «Математика»

Өскемен,

Усть-Каменогорск

2014

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение в теорию разностных схем. Постановки задач математической физики. Трехслойные разностные схемы 4

2. Разностные схемы для одномерных уравнений эллиптического, параболического, гиперболического типов 8

3. Методы построения разностных схем для дифференциальных уравнений 13

4. Аппроксимация краевых и начальных условий. Методы повышения аппроксимации 20

5. Метод гармоник для исследования устойчивости разностных схем 22

6. Разностные схемы с весами 23

7. Принцип максимума 25

1. Введение в теорию разностных схем. Постановки задач математической физики. Трехслойные разностные схемы

а) Разностные схемы для уравнения колебания.

Рассмотрим краевую задачу для уравнения колебания:

(1)

Рассмотрим сетку ,

Шаблон для схемы имеет вид:

Здесь используются три слоя, поэтому разностная схема называется трехслойной, когда значения на слоях , – известны.

(2)

Разрешим (2) относительно , получим:

(3)

Разностная схема (2) имеет порядок аппроксимации .

Для счета на схеме (3) должны быть известны значения

Из начального условия получим:

. (4)

Замена условия – конечно разностным соотношением – имеет порядок

Выше было сказано, что схема (2) имеет порядок . Поэтому необходимо добиться аппроксимации и начального условия порядка .

Для этого используем разложение:

Из уравнения (1) следует, что

Тогда

Следовательно, если в место возьмем:

, (5)

который аппроксимирует со вторым порядком.

Совокупность (2), (4), (5) аппроксимируют уравнение (1) со вторым порядком по и .

Для исследования устойчивости будем искать решение (2) в виде:

(6)

Подставляя это выражение в (2) и сокращая на получим

(7)

Разностное уравнение (2) устойчиво, если оба корня уравнения (7) не превосходят по модулю 1.

Разностное уравнение (2) устойчиво, если при действительных выполняется равенство это выполняется

т. е. ,

при всех , если .

б) Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим уравнение

Заменим явной симметричной схемой (схема Ричардсона):

(*)

Применяя метод гармоник, получим

Решим квадратное уравнение, имеем корни:

Один из корней всегда будет по модулю больше единицы, следовательно схема (*) абсолютно неустойчива (условно устойчива).

Заменим полусуммой, имеем (схему ромб: Дюфорта - Франкля);

Схема абсолютно устойчива.

Схема ромб, может быть записана в виде:

Т. е. схема ромб получена из схемы Ричардсона добавлением к левой части члена , обеспечивающего устойчивость.

2. Разностные схемы для одномерных уравнений эллиптического, параболического, гиперболического типов

1. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами

1.Исходная задача. Процесс распространения тепла в одномерном стержне описывается уравнением теплопроводности

(1)

где -температура в точке стержня в момент -теплоемкость единицы массы, -плотность, -теплоемкость единицы длины, -коэффициент теплопроводности, -плотность тепловых источников. В общем случае могут зависеть не только от и , но и от температуры (квазилинейное уравнение теплопроводности) и даже от (нелинейное уравнение). Если постоянны, то (1) можно записать в виде

(2)