Научный семинар Теория разностных схем (стр. 5 )

Отсюда, проводя разложение в точке (xi ,tn+1/2), и обозначая и=u(xi ,tn+1/2) будем иметь

и, перегруппировывая слагаемые, получим, что

Учитывая уравнение (1) u"-u=f и следствие из него uIY-u"=-f", окончательно можем записать, что

Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по и четвер­тый — по h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по и по h. При остальных значениях и при схема (15) имеет первый порядок аппроксимации по и второй — по h. Опуская выкладки, отметим, что если искать решение уравне­ния (15) с в виде (10), то получим

и при всех , если

Отсюда видно, в частности, что все схемы с абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.

При разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения по заданным требуется решать си­стему уравнений

где

Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при сводятся к не­равенству

и выполнены при Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.

4. Аппроксимация краевых и начальных условий. Методы повышения аппроксимации

Рассмотрим уравнение

(1)

Пусть при заданы краевые условия третьего рода

(2)

(3)

Разностное краевое условие для (2) запишем на шаблоне

Покажем, что разностный аналог условия (2),

(4)

где аппроксимирует с тем же порядком, что и разностная схема с весами.

Подставим в (4):

(5)

Разложим в окрестности по формуле Тейлора:

Подставим

Отсюда, видно

Разностная схема для краевого условия (3) имеет вид:

(6)

где:

Введем обозначение

Запишем условия (4), (6) иначе.

Замечание: При получим условие 2 рода.

Счетный вид условий (4), (6)

5. Метод гармоник для исследования устойчивости разностных схем

Рассмотрим уравнение

(1)

Ищем решение частное (1) в виде:

(2)

где: – неизвестное, – мнимая единица, действительное число.

Подставим (2) в (1) имеем

Откуда

Начальное условие ограничено:

Если в решение (2) то решение вида (2) неограниченно растет при

Если же то для всех действительных решение (2) ограничено при и разносное уравнение называется устойчивым.

Неравенство выполняется при всех только тогда, когда откуда следует что

(3)

(3)-условие условной устойчивости схемы (1).

Рассмотрим неявную схему

(4)

По методу гармоник определим, что

В этом случае условие выполняется при любых .