Научный семинар Теория разностных схем (стр. 7 )

Из условий (9) и равенства получим, что

,

Получим противоречие. Таким образом, допущение (11) – неверное. ч. т.д.

Следствие 1. Если при всех

a)  выполняются условия (9);

b)  и найдется что ,

то для .

Следствия 2. Пусть выполнены условия (9) при и условие тогда задача (6) имеет единственное решение.

Пусть

(13)

Теорема 2. (сравнения) Пусть при всех выполнены условия (9) и тогда если

то ,

Рассмотрим функцию

тогда

.

В силу следствия 1 т. е

, ч. т.д.

Теорема сравнения позволяет доказать устойчивость решения 1-краевой задачи по граничным условиям.

Рассмотрим уравнение

. (14)

Следствия 3. (устойчивость по граничным условиям ). Пусть при выполнены условия (9). Тогда для решения (14) справедливо

9.2. Применение принципа максимума

Рассмотрим разностное уравнение

(1)

(2)

(3)

Оператор называется моннотонным оператором, если из условия следует что для .

Разностные схемы называются монотонными, если при всех удовлетворяют условиям (3).

Пример 1. Рассмотрим уравнение теплопроводности

(4)

Аппроксимируем схемы с весами

. (5)

Запишем в канонической форме

(6)

Условия (3) положительности коэффициентов сводятся к неравенствам

(7)

При условие (7) примем вид

. (8)

При условие (7) выполнено при

Пример 2. Рассмотрим уравнение

Аппроксимируем разностной схемой:

,

.

Запишем каноническую форму

Отсюда схема монотонна при условии

Это условие выполнено, если

.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.  Марчук вычислительной математики.- М.:Наука,1989

2.  , Гулин методы. - М.: Наука, 1989

3.  , , Шувалова методы анализа.-М.:Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962

4.  Крикунов по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям./ Изд-во Казанского университета, 1970

5.  Тихонов математической физики./ , . Гостехиздат,1953

6.  Самарский в численные методы: Учебное пособие М.: Наука,1982г.271с.

7.  , Костомаров лекции по прикладной математике: Учебное пособие. М.: Наука,1984г.190с.

8.  , Арсенин решения некорректных задач: Учебное пособие. М.:Наука,1979г.285с.

9.  Кошляков дифференциальные уравнения математической физики./ , , Физматгиз, 1962.

10.  Смирнов уравнения в частых производных второго порядка, Наука, 1964.