Научный семинар Теория разностных схем (стр. 6 )

Схема (4) абсолютно устойчива.

6. Разностные схемы с весами

Рассмотрим семейство схем с весами.

Зададим произвольный параметр и определим разностную схему.

При – явная схема

– неявная схема

– симметричная схема.

Задание: Доказать, что симметричная схема имеет порядок :

Исследуем погрешность аппроксимации схемы (5).

Положим и подставим в (5) получим:

(6)

.

Здесь

. (7)

Разложим в ряд Тейлора, члены из (7), имеем

Обозначим и разлогая в заменим итоге:

Группируя, получим

Учитывая, что и запишем окончательно:

(8)

Из (8) следует, что

Если ,

то схема (5) имеет порядок .

Если ; то схема (5) имеет порядок .

При остальных значениях и при имеет порядок

По методу гармоник имеем:

.

Откуда если при всех .

7) Отсюда видно, что все схемы с абсолютно устойчивы.

Схемы повышенного порядка при абсолютно устойчивы.

7. Принцип максимума

7.1 Принцип максимума и его следствия

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона: найти в

функцию из

(1)

При получим задачу Дирихле для уравнения Лапласа

(2)

Для задачи (2) выполнен принцип максимума: решение отличное от константы может достигать своего max по модулю только на границе, т. е.

.

Аппроксимируем уравнение (1) разностной задачей:

(3)

(4)

Разрешим (3), относительно в виде

(5)

Пусть – шаблон из пяти точек а – шаблон без точки

Тогда (5) примем вид:

(6)

- каноническая форма разностного уравнения.

Где:

Отсюда видно, что

.

Определим сеточный оператор

(7)

Обозначим

Тогда задачу (6) запишем в виде:

(8)

или

Условия положительности коэффициентов

(9)

Теорема 1: (принцип max). Пусть выполнены условия (9). Тогда, если функция заданная на не является постоянной и

(10)

при всех

то не может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения на среди всех её значений на .

Доказательство. Докажем от противного пусть в точке

(11)

Тогда

(12)

Согласно условию (9), имеем

т. е с другой стороны из условия (10)

т. е , откуда из (12)

для всех

нетрудно показать, что

Оценим величину