Сформулировать задачу многокритериальной (векторной) оптимизации (стр. 4 )

2 – ветвь: 0

С проведением эксперимента. Выбираем максимальное значение из (-30, 0, 95, 0). Оно равно 95.

3 – ветвь:= -30

4 – ветвь: 0

5 – ветвь: =95

6 – ветвь: 0

Как следует из условия задачи, значение в 95 единиц мы можем получить с вероятностью 0.4. Следовательно, ожидаемый выигрыш будет равен 0.4*95=38 единицам. Вычитаем расходы на проведение эксперимента равное 10 единицам. В итоге получим 28 единиц.

13.  Мультипликативный критерий

В ряде задач проектирования более целесообразным является оперирование с относительными изменениями значений частных критериев.

Принцип справедливой относительной компенсации формулируется следующим образом: справедливым следует считать такой компромисс, когда суммарный уровень относительного снижения значений одного или нескольких критерий не превышает суммарного уровня относительного увеличения других критериев.

В математической формулировке условие оптимальности на основе принципа справедливой относительной компенсации имеет вид

(3)

где ΔFi(X) – приращение величины i – го критерия, Fi(X) – первоначальная величина i – го критерия.

Полагая , можно представить (3) как дифференциал натурального логарифма

(4)

Из выражения (4) следует, что принцип относительной компенсации приводит к мультипликативному обобщённому критерию оптимальности

(5)

Мультипликативный критерий образуется путём простого перемножения частных критериев в том случае, когда они имеют одинаковую важность. В случае неравноценности частных критериев вводятся весовые коэффициенты li и мультипликативный критерий примет вид

(6)

Мультипликативный критерий иногда представляется в виде отношения произведений частных критериев (выходных параметров)

m1+m2=m; (7)

где в числителе перемножаются все выходные параметры, требующие максимизации и имеющие ограничения а в знаменателе – все выходные параметры, требующие минимизации и имеющие ограничения , где TTi – значение технического требования, предъявленного к i– му критерию. Целевая функция (7) в дальнейшем подвергается максимизации.

Достоинством мультипликативного критерия является то, что при его использовании не требуется нормирование частных критериев. Недостатки критерия: критерий компенсирует недостаточную величину одного частного критерия избыточной величиной другого и имеет тенденцию сглаживать уровни частных критериев за счёт неравнозначных первоначальных значений частных критериев.

14.  Критерий Сэвиджа

На практике, выбирая одно из возможных решений, часто останавливаются на том, осуществление которого приведет к наименее тяжелым последствиям, если выбор окажется ошибочным.

При выборе решения по этому критерию сначала матрице полезности сопоставляется матрица сожалений D - для нашего примера, вычитанием (616,5) из первого столбца матрицы полезности, 1233 из второго столбца, 1849,5 и 2466 из третьего и четвертого столбцов соответственно, получим матрицу рисков:

B X	B1=2	B2=4	B3=6	B4=8	air
X1=1	0	616,5	1233	1849,5	1849,5
X2=2	83,5	0	616,5	1233	1233
X3=3	167	83,5	0	616,5	616,5
X4=4	250,5	167	83,5	0	250,5

Наименьшее значение среди максимальных элементов строк (выделенные в таблице значения) равно:

ZS=min(1849,5; 1233; 616,5; 250,5)=250,5

Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать решение, обеспечивающее минимальное значение максимального риска:

ZS=. (6)

15.  Метод последовательных уступок

Встречаются случаи, когда пользователь готов на некоторое снижение величин более важных критериев, чтобы повысить величину менее важных. В таких ситуациях можно воспользоваться методом уступок.

При решении задач методом последовательных уступок вначале нужно определить важность частных критериев, т. е. расположить частные критерии в порядке убывания важности. Таким образом, главным считается критерий F1 , менее важным F2, . . . , Fm. Минимизируется первый по важности критерий и определяется его наименьшее значение F1min. Затем назначается величина допустимого снижения уступки D1³0 критерия F1 и ищется наименьшее значение критерия F2 при условии, что значение F1 должно быть не больше, чем F1min+D1. Снова назначается уступка D2³0, но уже по второму критерию, которая вместе с первой используется при нахождении условного минимума F3 и т. д. Наконец, минимизируется последний по важности критерий Fm при условии, что значения каждого критерия Fi из m-1 предыдущих должны быть не больше соответствующей величины Fimin+Di. Получаемое в итоге решение считается оптимальным.

Таким образом, оптимальным считается всякое решение, являющимся решением последней задачи из следующей последовательности задач

Величины уступок выбирают в пределах инженерной точности, т. е. 5-10% от наименьшего значения критерия.

Недостатком метода являются трудности с назначением и согласованием величин уступок, возрастающие с ростом размерности векторного критерия, а также необходимость формирования неизменного для всей задачи априорного ранжирования критериев.

16.  Классификация задач выбора

1. Вид отображения F детерминированное, вероятностное или неопределённое, что позволяет выделить соответственно:

задачи Принятия Решений в условиях определенности (детерминированные);

задачи ПР в условиях риска;

задачи ПР в условиях в условиях неопределённости.

2. Мощность множества критериев - одноэлементное или состоящее из нескольких критериев:

задачи ПР со скалярным критерием;

задачи ПР с векторным критерием (многокритериальные задачи).

3. Тип системы - отображает предпочтения одного лица или коллектива, поэтому

задачи индивидуального ПР;

задачи группового ПР.

17.  Способы сужения Парето-оптимального множества

Первый подход. Для заданной многокритериальной задачи оптимизации находится множество её Парето-оптимальных решений, а выбор конкретного оптимального варианта из множества Парето-оптимальных предоставляется ЛПР.

Второй подход. Как уже было сказано выше, производится сужение множества Парето-оптимальных исходов (в идеале – до одного элемента) с помощью некоторых формализованных процедур, что облегчает окончательный исход для ЛПР. Отметим, что такое сужение может быть произведено только при наличии дополнительной информации о критериях или свойствах оптимального решения.

Рассмотрим некоторые простейшие способы сужения Парето-оптимального множества, акцентируя при этом внимание на необходимость дополнительной информации. Считаем, что задана многокритериальная задача оптимизации.

Указание верхних границ критериев. Дополнительная информация об оптимальном исходе XoptÎD в этом случае имеет вид

()

Число Ci рассматривается здесь как верхняя граница по i – му критерию.

Отметим, что указание верхних границ по критериям не может быть "извлечено" из математической модели задачи принятия решения; набор ограничений (C1, C2, , Cm) представляет собой дополнительную информацию, полученную от ЛПР.

Рассмотрим теперь второй подход, который приводит к сужению Парето-оптимального множества на основе дополнительной информации, получаемой от ЛПР.

а) Указание нижних границ критериев. Наложим, например, следующие ограничения на оптимальное решение:

зарплата — не менее 600 рублей;

длительность отпуска — не менее 30 дней;

время поездки — не более 40 минут.

Варианты, удовлетворяющие этим дополнительным ограничения: {3, 6, 9}; из них оптимальными по Парето являются варианты 3 и 6. Остаётся сделать окончательный выбор между вариантами 3 и 6.

б) Субоптимизация. Пусть в качестве выделенного (главного, важнейшего) критерия выступает критерий зарплата; ограничения длительность отпуска — не менее 30 дней, время поездки — не более 40 минут. Отбросим варианты, которые не удовлетворяют данным ограничениям; остаются варианты: {2, 3, 5, 6, 9}. Из них максимальную зарплату имеет вариант 3. Этот вариант и будет оптимальным.

в) Лексикографическая оптимизация. Упорядочим критерии по относительной важности. Например, следующим образом: (т. е. важнейший критерий — зарплата, следующий за ним по важности время поездки, наименее важный критерий длительность отпуска). Максимальное значение по критерию З имеют варианты 1 и 7. Далее сравниваем эти варианты по второму по важности критерию В. Так как время поездки для этих вариантов одинакова, переходим к третьему критерию Д; по критерию длительность отпуска лучшим является вариант 7, который и является здесь оптимальным.