Сформулировать задачу многокритериальной (векторной) оптимизации (стр. 7 )

Эксперты	Критерии
F1	F2	. . .	Fm
1	r11	r12	. . .	r1m
2	r21	r22		r2m
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
L	rL1	rL2	. . .	rLm
å оценок	r1	r2	. . .	rm

, i=1,2, …,m.

- (i=1,2, . . . , m) - формула для вычисления весовых коэффициентов li по методу ранжирования.

Метод приписывания баллов

Этот метод основан на том, что эксперты оценивают важность частного критерия по шкале [0-10]. При этом разрешается оценивать важность дробными величинами или приписывать одну и ту же величину из выбранной шкалы нескольким критериям.

где - сумма i - ой строки.

rik - называют весом, подсчитанным для k - критерия i - м экспертом. Отсюда, учитывая, что

, получим

Способ 3

,

.

27.  Проблемы решения задач векторной оптимизации

Нормализация критериев. Так как частные критерии имеют различный физический смысл, т. е. измеряются в различных единицах; масштабы их не соизмеримы, поэтому невозможно сравнение качества полученных результатов по каждому критерию. Операция приведения масштабов локальных критериев к единому, обычно безразмерному, носит название нормализации критериев.

Выбор принципа оптимальности, т. е. требуется определить правило, которое позволило бы сказать какое решение лучше. Принцип оптимальности - основная проблема векторной оптимизации.

Учёт приоритета критериев. Обычно из физического смысла задачи следует, что локальные критерии имеют различную важность при решении задачи, т. е. один локальный критерий имеет какой-то приоритет над другим локальным критерием. Это следует учитывать при выборе принципа оптимальности и определении области возможных решений, отдавая предпочтение более важным критериям.

Вычисление оптимума ЗВО. Сейчас достигнуты определённые успехи в области решения задач математического программирования (МП). Так по одним данным, методов однокритериальной оптимизации и их модификаций более 500 (пятисот), по другим - их количество перевалило за несколько тысяч! Но их, как правило, нельзя один к одному применять к решению ЗМО, т. к. известны примеры, когда вычислительные алгоритмы становятся непригодными для решения задач МП в результате небольших изменений и добавлений к первоначальной задаче, поэтому встаёт проблема - вычисление оптимума построенной задачи векторной оптимизации. Однако отметим, что перечисленные проблемы так или иначе сводят многокритериальную задачу к однокритериальной, т. е. сводят к проблеме вычисления оптимума.

Развитие методов решения ЗВО идёт по трём направлениям:

1.  Замена векторного критерия скалярным критерием, т. е. переход к однокритериальной задаче оптимизации;

2.  Последовательное решение конечного множества однокритериальных задач;

3.  Сужение множества D с последующим непосредственным выбором оптимального решения.

28.  Решение игр в смешанных стратегиях как задача линейного программировани

Общее правило для игр без седловой точки: игрок, играющий по определённой (детерминированной) стратегии, оказывается в более худшем положении по сравнению с игроком, который меняет стратегию случайным образом.

Впрочем, случайные изменения стратегии надо делать не как попало, а с умом. Пусть A1, A2, …, An — возможные стратегии игрока A. Для получения наибольшего эффекта он должен использовать все или некоторые из этих стратегий случайным образом, но не с одинаковыми, а с разными (специально вычисленными) вероятностями. Пусть стратегия A1,используется с вероятностью p1, стратегия A2,с вероятностью p2 и т. д. Смешанной стратегией SA игрока А называется применение чистых стратегий A1, A2, ..., An с вероятностями p1, p2, ..., pi, ..., pn причем сумма вероятностей равна 1: Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы

,

или в виде строки SA=(p1, p2, …, pn). В отличие от смешанных стратегий SA стратегии Aj называют чистыми. При надлежащем подборе вероятностей pj смешанная стратегия может оказаться оптимальной. При этом выигрыш игрока A будет не меньше некоторого значения v, называемого ценой игры. Это значение больше нижней цены игры, но меньше верхней. Аналогичны образом должен вести себя игрок B. Его оптимальная стратегия также есть некоторая смешанная стратегия

или в виде строки SB=(q1, q2, …,qm), где qj — специально подобранные вероятности, с которыми игрок B использует стратегии Bj. Сумма вероятностей равна 1: При выборе игроком B оптимальной смешанной стратегии выигрыш игрока A будет не больше цены игры v. Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение) игры: это пара оптимальных стратегий S*A , S*B в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v. Цена игры удовлетворяет неравенству α≤v≤β, где α и β — нижняя и верхняя цены игры. Справедлива следующая основная теорема теории игр — теорема Неймана. Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий. Пусть S*A = (p*1, p*2, ..., p*i, ..., p*m) и S*B = (q*1, q*2, ..., q*i, ..., q*n) — пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной. Справедлива теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

29.  Модифицированный критерий Байеса-Лапласа

В условиях риска критерий Байеса-Лапласа (ожидаемого среднего выигрыша) не является адекватным и должен быть изменён с учётом возможных отклонений случайной величины от её среднего значения.

В теории вероятностей в качестве меры отклонения случайной величины от её среднего значения обычно используют дисперсию Dξ или среднеквадратичное отклонение σ=. В задачах принятия решений в условиях риска будем рассматривать в качестве показателя риска среднеквадратичное отклонение σ, т. к. σ.имеет такую же размерность, что и случайная величина ξ, математическое ожидание Mξ.

Таким образом, для принятия решения в условиях риска выбор альтернативы Xi приводит к случайной величине ξi, которая может быть охарактеризована парой показателей (Mξ, σi).

30.  Методы свёртывания частных критериев

Идея этого метода заключается в том, что обобщённый критерий записывается в следующем виде:

который называют аддитивным критерием. Таким образом, мы получили однокритериальную задачу математического программирования

Замечание. Как правило, частные критерии имеют различную размерность. Поэтому при образовании обобщённого критерия нужно работать не с натуральными критериями, а с их нормированными значениями.

Мультипликативный критерий