Сформулировать задачу многокритериальной (векторной) оптимизации (стр. 1 )

1.  Сформулировать задачу многокритериальной (векторной) оптимизации

Задачи оптимизации, в которых имеется не одна, а несколько целевых функций (критериев), получили название многокритериальных задач оптимизации.

Критерии Fi(X), i=1,2, . . . , m, образуют векторный критерий F(X)=(F1, F2, . . . , Fm). Поэтому в литературе также используют термин "векторная оптимизация".

Сформулируем задачу многокритериальной оптимизации. Она имеет вид:

min F(X) min F(X)

XÎD или - параметрические ограничения

hk(X)=0, k=1,2, . . . , K; -функц. ограничения равенства

gj(X) ³ 0, j= 1,2, . . . , J. - функц. ограничения неравенства

Задача многокритериальной оптимизации может быть сформулирована следующим образом, например:

в квадрате D={-1£x1 £1, -1£x2 £1} заданы два критерия
которые желательно минимизировать.

Замечание. Символ minF(X) понимается как набор символов minFi(X), i=1,2, . . . , m. Будем предполагать, что все критерии нужно минимизировать, т. к. всегда можно перейти от maxFi(X) к min[-Fi(X)], i=1,2, . . . , m, т. е. сменой знака перед частным критерием.

Процесс решения задачи (4), как правило, состоит из двух этапов:

1.  Найти такое множество P Ì D, для которого F(P)=minF(X), XÎD;

2.  Определить вектор ÎD, являющийся наиболее предпочтительным из всех векторов множества P и набор технических характеристик объекта Fi(X0), i=1,2, . . . , m.

Таким образом, в результате решения задачи (4) мы получим вектор оптимальных параметров объекта и набор технических характеристик объекта Fi(X0), i=1,2, . . . , m.

Основная сложность логического анализа многокритериальных задач состоит в том, что в них, в отличие от "обычных" (однокритериальных) задач появляется эффект несравнимости вариантов (исходов). Например, если исходы оцениваются по двум критериям (критерии минимизируются) и имеем два вектора оценок (F1(X1), F2(X1))=(2, 5) и (F1(X2), F2(X2))=(3, 2). Вариант X1 лучше по первому критерию, а вариант X2 лучше по второму критерию, то варианты X1 и X2 несравнимы между собой. Несравнимость исходов является формой неопределённости, которая, в отличие от неопределённости, вызванной воздействием среды, связана со стремлением лица принимающего решение “достичь противоречивых целей” и может быть названа ценностной неопределённостью. Выбор между несравнимыми исходами является сложной концептуальной проблемой и составляет основное содержание многокритериальной оптимизации.

2.  Критерий Вальда

Согласно этому критерию игра с природой ведётся как игра с разумным, причём агрессивным противником, делающим всё для того, чтобы помешать нам достигнуть успеха. Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш не меньший, чем "нижняя цена игры с природой":

α= (3)

Правило выбора в соответствии критерием Вальда. Матрица решений (платёжная матрица) дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов аir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты, в строках которых стоят наибольшие значения аir этого столбца.

Таблица 10. Пример вариантов решения без учёта риска

B X	В1	В2	В3	аir
X1	1	10	1	1
X2	1.1	1.1	1.2	1.1	1.1

Выбирая вариант X2, предписываемый критерием Вальда, мы избегаем неудачного значения 1, реализующего в варианте X1 при внешнем состоянии B1, получая вместо него при этом состоянии немного лучший результат 1.1, зато в состоянии В2 теряем выигрыш 10, получая всего только 1.1. Это пример показывает, что в многочисленных практических ситуациях пессимизм минимаксного критерия может оказаться невыгодным

Применение критерия Вальда бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

v  о возможности появления внешних состояний Вj ничего не известно;

v  приходится считаться с появлением различных внешних состояний Вj;

v  решение реализуется лишь один раз;

v  необходимо исключить какой бы то ни было риск, т. е. ни при каких условиях Вj не допускается получать результат, меньший, чем ZMM.

3.  Ограничения. Допустимая область

В общем случае, для того чтобы создать хорошую машину, необходимо учитывать три сорта ограничений (зависимость между проектируемыми параметрами, которые должны учитывать при отыскании решения) – параметрические, функциональные и критериальные.

Проектировщики могут указать разумные пределы изменения каждого из внутренних параметров, которые мы будем называть параметрическими

(2)

Кроме параметрических ограничений в условие задачи включают функциональные ограничения, которые мы будем записывать в следующем виде

hk(X)=0, k=1,2, . . . , K; ограничения равенства (3)

gj(X) ³ 0, j= 1,2, . . . , J. ограничения неравенства (4)

Очевидно, ограничения (2) выделяют в n – мерном пространстве параметров параллелепипед П. Ограничения (3) выделяют в параллелепипеде П некоторое подмножество G. Пример. Пусть n=2.

Рис 1. Область работоспособности

Множество D - допустимая область (область работоспособности) - это множество векторов X, для которых одновременно выполняются условия (2), (3) и (4).

4.  Понятие риска

Риском игрока rij при выборе стратегии i в условиях (состояниях) природы j называется разность между максимальным выигрышем, который можно получить в этих условиях и выигрышем, который получит игрок в тех же условиях, применяя стратегию i. Принятие решений в условиях риска характеризуется тем, что поведение природы (среды) имеет случайный характер. Это проявляется в том, что существует некоторая вероятностная мера, в соответствии с которой возникают (наступают) те или иные состояния природы. При этом лицо принимающее решение имеет определённую информацию о вероятностях появления состояний среды, которая по своему характеру может быть весьма разнообразна. Например, имеется три состояния среды B1, B2 и B3, то дополнительная информация о появлении этих состояний может заключаться в том, что состояние B1 наименее вероятно, а состояние B3 более вероятно.

Следовательно, принятие решений в условиях риска предполагает, кроме задания функции реализации, задание некоторой дополнительной информации о вероятностях состояния среды. Если множество состояний природы B конечно (число состояний равно m), то вероятностная мера на нём может быть задана вероятностным вектором q=(q1, q2, …, qm), где qj≥0 и .

Таким образом, матрица выигрышей в условиях риска может быть представлена в следующем виде (см. таблицу 1)

Таблица 1. Платёжная матрица с вероятностным вектором состояния среды

Решения	Состояния среды
q1	…	qj	…	qm
B1	…	Bj		Bm
X1	a11		a1j		a1m
…
Xi	ai1		aij		aim
…
Xn	an1		anj		anm

Выбирая решение Xi, игрок знает, что получит один из выигрышей a11, …, a1m с вероятностями q1, …, qm соответственно. Следовательно, исходом для принимающего решение при выборе им решения Xi является случайная величина

.

Итак, сравнение двух решений X1 и X2 сводится к сравнению соответствующих им случайных величин..

Выбор оптимального решения обычно основывается на одном из следующих критериев:

1) критерий Байеса-Лапласа – ожидаемого значения (прибыли или расходов);

2) комбинации ожидаемого значения и дисперсии;

3) критерий произведения;

4) наиболее вероятного события в будущем и другие.

5.  Компромиссная кривая (аналитически)

Особый интерес для практики — m=2. В этом случае множество паретовских точек представляет собой одномерное многообразие на плоскости и допускает удобное графическое представление.

Опр. Множество паретовских точек в двухмерном пространстве критериев называют компромиссной кривой.

Она может состоять из несвязных кусков и содержать изолированные точки (см. рис. 5). Компромиссная кривая (КК) строго монотонно убывает в следующем смысле. Пусть Y1 и Y2 произвольные точки, принадлежащие КК. Обозначим их координаты Y1(y1,y2) и Y2(y3,y4), если y1<y3, то y2>y4. Таким образом, КК не содержит ни горизонтальных, ни вертикальных отрезков и её уравнение может быть представлено в форме F2=u(F1) и F1=v(F2).