Построение треугольников по различным элементам Классы: 8,9

Условие С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.


Решение Воспользуемся свойством: Медианы треугольника делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Построим сначала треугольник по трём сторонам: одна из них — данная, две другие составляют $ {\frac{{2}}{{3}}}$от данных медиан. Построенный треугольник достраиваем до искомого.


Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача1208

№5 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3.

Равные треугольники Признаки равенства. Классы: 8,9

Признаки и свойства параллелограмма

Условие

В треугольнике ABC медиана AM продолжена за точку M на расстояние, равное AM. Найдите расстояние от полученной точки до вершин B и C, если AB = 4, AC = 5.

Решение

Пусть A1 — точка на продолжении медианы AM за точку M, причём MA1 = AM. Треугольники A1MB и AMC равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому A1B = AC = 5. Аналогично A1C = AB = 4. Ответ: 5 и 4.

Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача1128

№6 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3.

Теорема о сумме квадратов диагоналей Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3.

http://problems.ru/show_document.php?id=1443424Решение

Обозначим через x основание BC равнобедренного треугольника ABC. На продолжении медианы BM за точку M отложим отрезок DM, равный BM. Тогда BADC — параллелограмм. Поэтому

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2), или 16 + 36 = 2 . 16 + 2x2.

Отсюда находим, что x2 = 10.

Ответ $ \sqrt{10}$.

Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача4012

№7 Темы: Свойства медиан. Центр тяжести треугольника Сложность:3.

Разные задачи на разрезания Свойства частей, Классы: 8,9

полученных при разрезаниях

Условие

Три равных треугольника разрезали по разноимённым медианам (см. рис. 1). Можно ли из получившихся шести треугольников сложить один треугольник?

   

Рис. 1

Решение См. рисунок 2.

Рис. 2

Ответ Можно.

Источник Турнир им. Ломоносова, 2001 год

№8 Темы: Удвоение медианы Сложность:3.

Построение треугольников по различным элементам Классы: 8

Вспомогательные равные треугольники

Условие

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Решение

Если продолжить медиану AE на ее длину за основание E и соединить полученную точку с вершинами треугольника С и B, то получим параллелограмм ACDB. Рассмотрим треугольник ACD, в котором AC=a, CD=b, AD=2m. Этот треугольник по трем сторонам мы можем построить, затем строим т. E - середину отрезка AD. Продолжим CE за точку E, так что CE=EB. Соединяя B с A, получим искомый треугольник ABC.

№ 9 Темы: Свойства медиан. Сложность:3+

Центр тяжести треугольника. Площадь треугольника Классы: 8,9

Условие

Медианы AN и BM треугольника ABC равны 6 и 9 соответственно и пересекаются в точке K, причём угол AKB равен 30o. Найдите площадь треугольника ABC.


Решение

Поскольку медианы делятся их точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника, то

AK = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$AN = 4, BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$BM = 6.

Поэтому

S$\scriptstyle \Delta$AKB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BK . AK sin$\displaystyle \angle$AKB = 6.

Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$ABC = 3S$\scriptstyle \Delta$AKB = 18.

Ответ 18.

Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 3170

№ 10 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Формула Герона Классы: 8,9

Условие

Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26.

Решение

http://problems.ru/show_document.php?id=1482920Пусть стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 27 и 29, а его медиана BM равна 26. На продолжении медианы BM за точку M отложим отрезок MD, равный BM. Из равенства треугольников ABM и CDM (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство площадей треугольников ABC и BCD. В треугольнике BCD известно, что

BC = 29, BD = 2BM = 52, DC = AB = 27.

По формуле Герона

S$\scriptstyle \Delta$BCD = $\displaystyle \sqrt{54(54-52)(54-29)(54-27)}$= $\displaystyle \sqrt{54\cdot 2\cdot 25\cdot 27}$= 27 . 2 . 5 = 270.

Следовательно, S$\scriptstyle \Delta$ABC = S$\scriptstyle \Delta$BCD = 270.

Ответ 270.

Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 2250

№11 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема о сумме квадратов диагоналей. Классы: 8,9

Условие Стороны треугольника равны a, b, c. Докажите, что медиана, проведённая к стороне c, равна $ {\frac{1}{2}}$$ \sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}$.

http://problems.ru/show_document.php?id=1443447Решение

Пусть AB = c, BC = a, AC = b — стороны треугольника ABC; CM = m с— медиана треугольника.

На продолжении медианы CM за точку M отложим отрезок MD, равный CM. Тогда ACBD — параллелограмм. Поэтому

CD2 + AB2 = 2(AC2 + BC2), или 4mс 2 + c2 = 2(a2 + b2).

Отсюда находим, что

mс 2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2a2 + 2b2 - c2).

Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 4014

№12 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема косинусов Классы: 8,9

Условие Определите угол A между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины A, равна $ \sqrt{7}$.

Решение

На продолжении медианы AM данного треугольника ABC со сторонами AB = 2 и AC = 4 отложим отрезок MD, равный отрезку AM. Тогда четырёхугольник ABDC — параллелограмм, поэтому CD = AB = 2. Применяя теорему косинусов, из треугольника ACD находим, что

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7