http://problems.ru/show_document.php?id=1417180cos$\displaystyle \angle$ACD = $\displaystyle {\frac{AC^{2}+CD^{2}-AD^{2}}{2\cdot AC\cdot CD}}$= $\displaystyle {\frac{16+4-4\cdot7}{2\cdot 4\cdot 2}}$= - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$,

поэтому $ \angle$ACD = 120o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$BAC = 180o - $\displaystyle \angle$ACD = 180o - 120o = 60o.

Ответ 60o.

Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 3684

№13 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема о сумме квадратов диагоналей. Классы: 8,9

Условие Определите угол A между сторонами треугольника АВС 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины A, равна $ \sqrt{3}$.
Подсказка

На продолжении медианы AM данного т отложите отрезок MD, равный отрезку AM.
Ответ 120o.

Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 3685

№14 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема косинусов. Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC отрезок AD — медиана, AD = m, AB = a, AC = b. Найдите $ \angle$BAC.

Решение

http://problems.ru/show_document.php?id=1417298На продолжении медианы AD за точку D отложим отрезок DK, равный AD. Диагонали BC и AK четырёхугольника ACKB делятся точкой пересечения D пополам, значит, ACKB — параллелограмм. Поэтому CK = AB = a.

Применив теорему косинусов к треугольнику ACK, находим, что

cos$\displaystyle \angle$ACK = $\displaystyle {\frac{AC^{2}+CK^{2}-AK^{2}}{2\cdot AC\cdot CK}}$= $\displaystyle {\frac{b^{2}+a^{2}-4m^{2}}{2ba}}$.

а т. к. $ \angle$BAC = 180o - $ \angle$ACK, то

cos$\displaystyle \angle$BAC = - cos$\displaystyle \angle$ACK = $\displaystyle {\frac{4m^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}$.

Следовательно, $ \angle$BAC = arccos$ {\frac{4m^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}$.

Ответ arccos$ {\frac{4m^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}$.

Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 3805

№15 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Треугольник. с углами 60° и 120 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC медиана, проведённая из вершины A к стороне BC, в четыре раза меньше стороны AB и образует с ней угол 60°. Найдите угол ВАС.

http://problems.ru/show_document.php?id=1708915Решение

Продлив медиану АМ на ее длину, получим параллелограмм ABDC (см. рис.). В треугольнике АВD проведем медиану DE, тогда
АЕ = ½ АВ = AD.  Таким образом, треугольник АDЕ – равнобедренный с углом 60°, то есть равносторонний. Следовательно, медиана DE треугольника АВD равна половине стороны АВ, к которой она проведена; значит, этот треугольник – прямоугольный. Тогда
∠ВАС = ∠ВAD + ∠СAD = ∠ВAD + ∠ADB = 150°.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ответ 150°.

Источник: Московская математическая регата, 2012/13 г, 8 класс

№16 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Площадь треугольника (через высоту и основание) Классы: 8,9

Условие Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и $ \sqrt{15}$, а медиана, проведённая к третьей, равна 2.

http://problems.ru/show_document.php?id=1441476
Решение

Пусть AA1 — медиана треугольника ABC, AA1 = 2, AB = $ \sqrt{15}$, AC = 1. На продолжении медианы AA1 за точку A1 отложим отрезок A1K, равный AA1. Тогда CABK — параллелограмм, BK = AC = 1.

Треугольник ABK — прямоугольный, т. к. AK2 = AB2 + BK2. Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$ABC = S$\scriptstyle \Delta$ABK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{2}}$.

Ответ $ {\frac{\sqrt{15}}{2}}$.


Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 1243

№17 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема Пифагора (прямая и обратная) Классы: 8,9

Условие Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведённая к третьей, равна 5.

Подсказка

На продолжении медианы за середину стороны, отложите отрезок, равный медиане.


Ответ 24.

Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 1258

№18 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике Классы: 8,9

Условие В треугольнике ABC известно, что BD — медиана, BD = AB . $ {\frac{\sqrt{3}}{4}}$, а $ \angle$DBC = 90o. Найдите угол ABD.


Решение

Пусть M — точка на продолжении медианы BD за точку D, причём BD = DM. Тогда ABCM — параллелограмм,

http://problems.ru/show_document.php?id=1480066MC = AB, BM = 2BD = AB . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Из прямоугольного треугольника MBC находим, что

cos$\displaystyle \angle$BMC = $\displaystyle {\frac{BM}{MC}}$= $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$. $\displaystyle {\frac{AB}{AB}}$= $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Следовательно, $\displaystyle \angle$BMC = 30o, $\displaystyle \angle$ABD = $\displaystyle \angle$BMC = 30o.

Ответ 30o.


Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 2068

№19 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7