Теорема о сумме квадратов диагоналей Классы: 8,9

Условие Стороны треугольника равны 11, 13 и 12. Найдите медиану, проведённую к большей стороне.


Решение Пусть AM — медиана прямоугольного треугольника ABC, в котором AB = 12, AC = 11, BC = 13. На продолжении медианы AM за точку M отложим отрезок MK, равный AM. Тогда ABKC — параллелограмм. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма AK2 + BC2 = 2AB2 + 2AC2,

откуда AK2 = 2AB2 + 2AC2 - BC2 = 288 + 242 - 169 = 361 = 192.

Следовательно, AM = $ {\frac{1}{2}}$AK = $ {\frac{19}{2}}$. Ответ $ {\frac{19}{2}}$.

Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 2651

№20 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема о сумме квадратов диагоналей Классы: 8,9

Условие Докажите, что отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон равно $ {\frac{3}{4}}$.


Решение

Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Если m — медиана, проведённая к стороне a, то

m2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2b2 + 2c2 - a2).

Это можно доказать, применив теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (предварительно достроив соответствующим образом треугольник до параллелограмма). Аналогично для квадратов остальных двух медиан. Сложив три полученных равенства, получим требуемый результат.


Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 4047

№21 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема синусов Классы: 8,9

Условие Медиана AM треугольника ABC равна m и образует со сторонами AB и AC углы $ \alpha$и $ \beta$соответственно. Найдите эти стороны.

Решение

На продолжении медианы AM за точку M отложим отрезок MK, равный AM. Тогда четырёхугольник ABKC — параллелограмм, поэтому $ \angle$AKC = $ \angle$BAM = $ \alpha$. По теореме синусов из треугольника ACK находим, что

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

$\displaystyle {\frac{CK}{\sin \beta}}$= $\displaystyle {\frac{AK}{\sin (180^{\circ }- \alpha -\beta)}}$,

откуда AB = CK = $\displaystyle {\frac{AK\sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)}}$= $\displaystyle {\frac{2m\sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)}}$.

Аналогично находим, что AC = $\displaystyle {\frac{AK\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)}}$= $\displaystyle {\frac{2m\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)}}$.


Ответ $ {\frac{2m\sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)}}$, $ {\frac{2m\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)}}$.

Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 2671

№22 Темы: Удвоение медианы. Сложность:4-

Построение треугольника по различным элементам Классы: 8,9

http://problems.ru/show_document.php?id=1419204Условие С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей.

Решение

Предположим, что задача решена. Пусть AB и AC — данные стороны, AM — данная медиана. Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MP, равный AM. Поскольку четырёхугольник ABPC -- параллелограмм, то PC = AB.

Треугольник APC строим по трём сторонам. Продолжив его медиану CM за точку M на отрезок MB, равный MC, получим вершину B искомого треугольника.

Задача имеет решение, и притом единственное, если возможно построение треугольника, две стороны которого равны данным сторонам, а третья сторона равна удвоенной данной медиане.


Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 1209

№23 Темы: Удвоение медианы. Сложность:4-

Признаки и свойства параллелограмма Классы: 8,9

Условие Сережа нарисовал треугольник ABC и провел в нем медиану AD . Затем он сообщил Илье, какова в этом треугольнике длина медианы AD и какова длина стороны AC . Илья, исходя из этих данных, доказал утверждение: угол CAB тупой, а угол DAB острый. Найдите отношение AD/AC (и докажите для любого треугольника с таким отношением утверждение Ильи).

Решение Немного переформулируем задачу. Продлим медиану AD на ее длину за точку D , получим точку D' . Тогда CABD' — параллелограмм (так как диагонали этого четырехугольника делятся пополам их точкой пересечения), откуда угол DAB равен углу DD'C . Поскольку углы CAB и ACD' параллелограмма в сумме дают 180o , условие того, что угол CAB тупой, означает, что угол ACD' острый. В итоге имеем: Илья, зная только длину стороны AD' (она равна удвоенной длине AD ), смог доказать, что в треугольнике CAD' углы при стороне CD' острые. При каком сотношении сторон AC и AD' это возможно?
Ясно, что если треугольник CAD' равнобедренный ( AC=AD'=2AD ), то углы при основании острые (ведь они равны и их сумма меньше 180o ). Значит, ответ AD/AC=1/2 подходит (и мы доказали для этого случая утверждение Ильи).
Если треугольник CAD' неравнобедренный ( AChttp://problems.ru/show_document.php?id=1668920 AD' ), то например возьмем большую из сторон AC и AD' за гипотенузу, а меньшую — за катет, и построим треугольник CAD' , в котором один из углов ACD' или AD'C будет прямым. Достроим теперь параллелограмм CABD' и получим треугольник CAB , который вполне мог оказаться у Сережи, и в этом треугольнике один из углов DAB или CAB будет прямым. Значит Илья не смог бы доказать свое утверждение для AD/AC 1/2 .

Ответ Ответ: 1/2.

Источник: Турнир городов,2008/ 2009 г, 8-9 класс

№ 24 Темы: Свойства медиан. Центр тяжести треугольника Сложность:3+

Описанные четырёхугольники Площадь треугольника Классы: 8,9

Условие Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

Решение

Пусть окружность касается сторон a и b треугольника и проведённых к ним медиан ma и mb. Поскольку суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны между собой, то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$mb = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ma. (1)

С другой стороны, указанная окружность вписана в равновеликие треугольники (один со сторонами a и mb, второй — b и ma). Поэтому периметры этих треугольников равны, т. е.

a + mb + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b = b + ma + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a,

или

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a + mb = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b + ma. (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что a = b.


Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 4863

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7