№25 Темы: Свойства медиан. Центр тяжести треугольника Сложность:4

Равные треугольники. Признаки равенства Классы: 8,9

Условие Докажите равенство треугольников по трём медианам.

Решение

Пусть AM = A1M1, BN = B1N1, CK = C1K1 — медианы треугольников ABC и A1B1C1, а O и O1 — их соответствующие точки пересечения. Тогда

AO = $\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$AM = $\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$A1M1 = A1O1,

CO = $\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$CK = $\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$C1K1 = C1O1,

ON = $\displaystyle {\frac{{1}}{{3}}}$BN = $\displaystyle {\frac{{1}}{{3}}}$B1N1 = O1N1.

Треугольники AOC и A1O1C1 равны по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей. Поэтому AC = A1C1.

Аналогично доказывается равенство других сторон.


Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 1048

№26 Темы: Удвоение медианы. Сумма углов Сложность:4

треугольника. Теорема о внешнем угле Классы: 7,8,9

Условие В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) биссектриса BD в два раза короче биссектрисы AE. Найдите углы треугольника ABC.
 

Ответ 36, 36 и 108 градусов.

№27 Темы: Удвоение медианы. Вспомогательные Сложность:4+

равные треугольники. Классы:8,9

Условие

На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.


Решение

Пусть AP и AQ — указанные стороны квадратов APEB и AQFC, AM — медиана треугольника ABC, $ \angle$BAC = $ \alpha$.

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MK, равный отрезку AM. Тогда

CK = AB = AP, AC = AQ,

$\displaystyle \angle$PAQ = 360o -90o -90o - $\displaystyle \alpha$= 180o - $\displaystyle \alpha$= $\displaystyle \angle$KCA.

Поэтому треугольники ACK и QAP равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AK = PQ и AM = $ {\frac{{1}}{{2}}}$AK = $ {\frac{{1}}{{2}}}$PQ.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

http://problems.ru/show_document.php?id=1418600
Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 1050

№28 Темы: Удвоение медианы. Признаки и свойства Сложность:3

равнобедренного треугольника. Классы:8,9

Условие Биссектриса треугольника является его медианой. Докажите, что треугольник – равнобедренный.

Решение

Пусть AM – биссектриса и одновременно медиана треугольника ABC . На продолжении отрезка AM за точку M отложим отрезок MK , равный AM . Треугольник KMC равен треугольнику AMB по двум сторонам и углу между ними. Значит, CK=AB и AKC = BAK , а т. к. AM – биссектриса угла BAC , то AKC = KAC . Поэтому треугольник AKC – равнобедренный. Следовательно, AC=CK = AB , т. е. треугольник ABC – также равнобедренный.

Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 4345

№29 Темы: Удвоение медианы Отношение Сложность:4-

площадей подобных треугольников. Классы: 8,9

Условие Медианы треугольника равны 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.


Решение

Пусть B1 — середина стороны AC треугольника ABC, M — точка пересечения его медиан. На продолжении медианы BB1 за точку B1 отложим отрезок B1K, равный MB1. Тогда AMCK — параллелограмм, CK = AM.

Стороны треугольника KMC составляют $ {\frac{2}{3}}$соответствующих медиан треугольника ABC. Поэтому треугольник KMC подобен треугольнику, стороны которого равны медианам треугольника ABC. Тогда площадь треугольника KMC составляет $ {\frac{4}{9}}$площади треугольника со сторонами 3, 4, 5, т. е. $ {\frac{4}{9}}$. 6 = $ {\frac{8}{3}}$. Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$ABC = 6S$\scriptstyle \Delta$B1MC = 6 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$S$\scriptstyle \Delta$KMC = 8.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ 8.


Источник: web-сайт http://zadachi. mccme. ru. Система задач по геометрии задача 3060

№29 Темы: Свойства медиан. Неравенства с медианами Сложность:4 -

Неравенство треугольника Классы: 8,9

Условие Докажите, что в любом треугольнике сумма длин его медиан больше $ {\frac{{3}}{{4}}}$периметра, но меньше периметра.

Решение

Пусть O — точка пересечения медиан AM, BN и CK треугольника ABC. Поскольку

OA + OB > AB, OA + OC > AC, OB + OC > BC,

то, сложив почленно эти три неравенства, получим, что

2(OA + OB + OC) > AB + BC + AC, или

2$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2}{3}AM + \frac{2}{3}BN + \frac{2}{3}CK}\right.$$\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$AM + $\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$BN + $\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$CK$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2}{3}AM + \frac{2}{3}BN + \frac{2}{3}CK}\right)$ > AB + BC + AC.

Отсюда следует, что AM + BN + CK > $\displaystyle {\frac{{3}}{{4}}}$(AB + BC + AC).

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MA1, равный AM. Тогда ABA1C — параллелограмм. Поэтому

BA1 = AC, 2AM = AA1 < AB + BA1 = AB + AC.

Отсюда следует, что AM < $ {\frac{{1}}{{2}}}$(AB + BC). Аналогично докажем, что

BN < $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$(AB + BC), CK < $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$(AC + BC).

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7