Свойства медианы треугольника (стр. 1 )

Свойства медианы треугольника

Итоговое повторение курса геометрии 7 – 9 класса

При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. Предлагаю рассмотреть задачи, которые позволят увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала в ходе подготовки учащихся к экзамену.

Для сдачи экзамена не лишними будут дополнительные сведения о некоторых элементах треугольника. Рассмотрим свойства медианы треугольника и задачи, при решении которых этими свойствами можно воспользоваться. В предложенных задачах реализуется принцип уровневой дифференциации. Все задачи условно поделены на уровни (уровень указан в скобках после каждого задания).

Вспомним некоторые свойства медианы треугольника

Свойство 1. Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC.

Доказательство

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MK, равный AM. Тогда в четырёхугольнике ABKC диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, ABKC — параллелограмм. Применяя неравенство треугольника к треугольнику ABK, получим, что

2AM = AK < AB + BK = AB + AC.

Отсюда следует, что

AM < .

Свойство 2. Медиана рассекает треугольник на два равновеликих.

Доказательство

Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE.

и заметим, что

      Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Свойство 3. Во всяком треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство

Отрезки МА1, МВ1, МС 1 являются медианами соответственно тре-

угольников ВМС, АМС, АМВ, где M –точка пересечения медиан AА1, BВ1, CС1 треугольникаABC.

Свойство 4. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Доказательство

Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник  ABC, равна  площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF .

      Тогда

      В силу свойства 2,

что и требовалось доказать.

Свойство 5. Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство

В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD  =  CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB  =  BC. Теорема доказана.

Свойство 6. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Доказательство

      Продолжим медиану CO за точку O до точки D так, чтобы было выполнено равенство CO = OD, и соединим полученную точку D с точками A и B.      Получим четырехугольник ADBC, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам.

В силу признака параллелограмма заключаем, что четырехугольник ADBC является параллелограммом, а поскольку полученный параллелограмм содержит прямой угол C, то и все его углы прямые, следовательно, четырехугольник ADBC – прямоугольник. Поскольку диагонали прямоугольника равны, получаем равенства:

что и требовалось доказать.

Следствия: 1. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

2.  Если в треугольнике длина медианы равна половине длины стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный.

ЗАДАЧИ

При решении каждой последующей задачи используются доказанные свойства.

№1 Темы: Удвоение медианы. Сложность: 2+

Признаки и свойства параллелограмма Классы: 8,9

Условие

На продолжении медианы AM треугольника ABC за точку M отложен отрезок MD, равный AM. Докажите, что четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Решение

Воспользуемся одним из признаков параллелограмма. Диагонали четырёхугольника ABDC пересекаются в точке M и делятся ею пополам, поэтому четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Источник

web-сайт http://zadachi. mccme. ru Система задач по геометрии , задача1842

№2 Темы: Удвоение медианы Сумма углов треугольника Сложность: 2+.

. Теорема о внешнем угле. Классы: 8,9

Условие

В треугольнике АВС медиана ВМ в два раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 40o. Найдите угол АВС .

Решение

Продлим медиану BM за точку M на ее длину и получим точку D (см. рис. 8.2). Так как AB = 2BM , то AB = BD , то есть треугольник ABD  — равнобедренный. Следовательно,

BAD = BDA = (180o - 40o) : 2 = 70o .
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его

диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, CBD = ADB = 70o . Тогда ABC = ABD + CBD = 110o .

Ответ: 110o .

Источник: Окружная олимпиада (Москва) , 2009 г, 8 класс

№3 Темы: Удвоение медианы Сложность: 2+.

Признаки и свойства равнобедренного треугольника Классы: 8,9

Теорема о внешнем угле. Центральная симметрия

Условие Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.

Решение

Пусть в треугольнике ABC медиана BD является биссектрисой. Рассмотрим точку B1, симметричную B относительно точки D. Так как D — середина отрезка AC, то четырехугольник ABCB1 — параллелограмм. А так как ABB1 = B1BC = AB1B, то треугольник B1AB равнобедренный и  AB = AB1 = BC.

Источник: Прасолов по планиметрии. Изд. МЦНМО, 2001 г.

№ 4 Темы: Свойства медиан. Центр тяжести треугольника Сложность: 2+.