Погрешность и неопределенность измерений (стр. 2 )

Субъективная (личная) погрешность – составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная индивидуальными особенностями оператора. Они вызываются недостаточно высокой квалификацией оператора, его состоянием, положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическими свойствами СИ и др. Чаще всего они обусловлены погрешностью отсчета оператором показаний по шкалам СИ и др. Погрешности отсчитывания возникают при необходимости оценивания на глаз доли деления шкалы, соответствующей положению указателя (погрешность интерполяции при считывании), а также из-за параллакса при «косом» направлении взгляда оператора (погрешность от параллакса).

Погрешность измерения D является интегральной погрешностью, которая образуется в результате объединения составляющих погрешностей от разных источников:

D = Dси* Dм *Dу *Dоп, (8)

где Dси – инструментальная погрешность; Dм – методическая погрешность; Dу – погрешность условий; Dоп – субъективная погрешность|.

Знак * является знаком объединения (не сложения), поскольку погрешности различные погрешности объединяют с использованием разных математических операций.

Каждый из источников, в свою очередь, может дать одну либо несколько элементарных составляющих.

По значимости все погрешности (составляющие и интегральные) можно разделить на значимые и пренебрежимо малые. К пренебрежимо малым составляющим погрешностям относят погрешности, которые значительно меньше доминирующих составляющих, т. е. Dmin << Dmax.

Статическая и динамическая погрешности относятся к погрешностям средств измерений. Динамической погрешностью средства измерений называют погрешность, возникающую при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины. Она равна

Dдин = Dд. р – Dст. р, (9)

где Dдин – динамическая погрешность средства измерения; Dд..р – погрешность средства измерения при использовании его в динамическом режиме; Dст..р – погрешность при использовании средства измерений в статическом режиме.

При этом статической погрешностью называют погрешность средства измерения, применяемого при измерении физической величины, принимаемой за неизменную. Динамический режим измерений встречается не только при измерении изменяющейся величины, но и при измерении величины постоянной в том случае, когда скорость изменения сигнала измерительной информации на входе средства измерений оказывается соизмерима и даже выше скорости преобразования измерительной информации.

По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешность:

– аддитивную – не зависящую от измеряемой величины (рис. 1.а);

– мультипликативную, которая прямо пропорциональна измеряемой величине (рис. 1б);

– суммарную, имеющую и аддитивную и мультипликативнуюсоставляющие (рис. 1в) или нелинейную.

Эти погрешности применяются в основном для описания метрологических характеристик СИ и определения их класса точности.

Рис. 1. Аддитивная (а), мультипликативная (б) и суммарная (в) погрешности

Эти погрешности применяются в основном для описания метрологических характеристик СИ и определения их класса точности.

Вопрос 2. Случайные погрешности

Случайные погрешности возникают из-за наличия случайных погрешностей у применяемых средств измерений, из-за колебаний влияющих факторов, из-за ограниченных возможностей органов чувств человека и др.

Присутствие случайных погрешностей в результатах измерений обнаруживается по разбросу значений относительно некоторого значения.

Вследствие того, что результат измерения содержит случайную погрешность , он сам является случайной величиной, так как . Предсказать результат отдельного единичного измерения невозможно, можно лишь, зная закономерности поведения результатов, с определенной уверенностью утверждать, что истинное значение находится в определенных пределах.

Дать количественные оценки результата измерения и его случайной погрешности позволяет теория вероятностей и математическая статистика.

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать любое значение из заданного множества значений и с которой связано распределение вероятностей. Она может принимать дискретные и непрерывные значения.

Случайную величину, которая может принимать только отдельные значения, называют дискретной .

Случайную величину, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала, называют непрерывной. Измеренные значения физических величин и их случайные погрешности рассматриваются как непрерывные случайные величины.

Все случайные величины подчиняются определенным закономерностям, называемым законами распределения. Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Различают две формы закона: интегральную и дифференциальную. Интегральная форма – функция распределения вероятностей – функция, задающая для любого значения х вероятность того, что случайная величина Х будет меньше или равна х:

. (10)

По определению функция распределения равна вероятности, с которой случайная величина Х принимает значения, меньше или равные х (вероятности достижения х). Например, значение функции от 5 – это вероятность, с которой случайная величина Х достигнет значения, равного 5: .

Функция распределения вероятностей обладает следующими свойствами:

– она неотрицательная, т. е. ;

– значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1];

– функция распределения неубывающая, т. е , если .

Если функция распределения непрерывной случайной переменной дифференцируема, то первая производная от нее называется плотностью распределения вероятностей случайной переменной Х:

. (11)

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

– ;

– .

Вид функции и плотности нормального распределения представлен на рис. 2.

Если усредненные величины, отсчитываются от начала координат, то моменты называются начальными, если от центра – центральными. Начальный и центральный моменты -го порядка для непрерывных случайных величин определяются по формулам

; (12)

. (13)

Для того чтобы охарактеризовать случайную величину, часто достаточно определить положение центра и меру разброса значений. Для нахождения этих параметров могут быть использованы некоторые усредненные числовые величины – начальные и центральные моменты.

Координата центра в зависимости от вида распределения (мера положения) может быть охарактеризована медианой, математическим ожиданием, модой или центром размаха.

Медиана (50% квантиль) является центром симметрии. Это точка на оси Х, слева и справа от которой вероятность появления различных значений одинакова и равна 0,5:

. (14)

Математическое ожидание – центр тяжести распределения, опрокидывающий момент в этой точке равен нулю. Математическое ожидание является первым начальным моментом случайной величины ():

, (15)

где интеграл берется по всему интервалу изменения Х.

Мода – это координата максимума распределения . Распределения с одним максимумом называются одномодальные, с двумя – двухмодальные.

Для ограниченных распределений например равномерного применяется оценка в виде центра размаха :

, (16)

где – первый и последний члены вариационного ряда соответствующего распределения.

Разные оценки центра имеют различную эффективность. Например, для островершинных распределений оценка координаты центра эффективнее медианой, чем математическим ожиданием. Для распределений, близких к нормальному, наиболее эффективной оценкой является математическое ожидание.

Характеристикой рассеивания значений служит дисперсия , которая является вторым центральным моментом ():