Погрешность и неопределенность измерений (стр. 5 )

– задаться доверительной вероятностью , которую чаще всего выбирают из следующего ряда 0,9; 0,95 или 0,99. Для технических измерений обычно выбирают 0,95;

– вычислить значение функции нормированного нормального распределения. Из формул или находим или ;

– определить квантили или из таблиц нормированного нормального распределения, при которых функция примет значение или .

Например, необходимо определить доверительные границы истинного значения физической величины, распределенной по нормальному закону при доверительной вероятности Р = 0,95. Для их определения воспользуемся формулой нахождения истинного значения в доверительном интервале . Отсюда значение , т. е. . По таблицам значений функции нормированного нормального распределения находим значение аргумента , при котором функция примет значение равное : . Доверительные границы равны .

Распределение Стьюдента. Закон нормального распределения вероятностей справедлив только при сравнительно большом (более 20) числе наблюдений одной и той же физической величины. В этом случае можно считать, что оценка стандартного отклонения равна оцениваемому параметру, т. е. .

Если распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна, т. е. при малом числе наблюдений , расчет доверительных интервалов выполняют с использованием распределения Стьюдента , которое зависит от числа результатов наблюдений. Оно описывает плотность распределения отношения (дроби Стьюдента)

, (41)

где – истинное значение измеряемой величины. Величины , вычисляют на основании опытных данных, они представляют собой точечные оценки математического ожидания, СКО результатов наблюдений и СКО среднего арифметического.

Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале , равна

(42)

где k – число степеней свободы, равное .

Величины (называемые коэффициентами Стьюдента) рассчитаны для различных значений доверительной вероятности и различного числа измерений и сведены в таблицы (см. приложение). Следовательно, с помощью распределения Стьюдента можно найти вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины не превышает . Распределение Стьюдента используется при числе измерений , поскольку уже при оно переходит в нормальное.

Равномерное, треугольное и трапецеидальное распределения. Если случайная величина принимает значения лишь в пределах некоторого конечного интервала от до с постоянной плотностью вероятностей (рис. 6), то такое распределение называется равномерным и описывается соотношением

, при

, при и . (43)

Так как площадь, ограниченная кривой распределения равна единице, а , то

и

Математическое ожидание определяется формулой

. (44)

Дисперсия случайной величины Х, распределенной по равномерному закону равна:

,

откуда . (44)

Для треугольного и трапецеидального распределения (рис. 7) СКО определяются соответственно формулами

; (45)

. (46)

Вопрос 3. Систематические погрешности

Наличие систематических погрешностей искажает результаты измерений. Их отсутствие определяет правильность измерений – качество, отражающее близость к нулю систематических погрешностей. Основная трудность – обнаружение систематических погрешностей с последующей их полной или частичной компенсацией.

Результаты наблюдений, полученные при наличии систематической погрешности, называются неисправленными. При проведении измерений стараются исключить или учесть влияние систематической погрешности.

Все имеющиеся методы можно разделить на методы выявления и исключения систематических погрешностей.

Методы выявления (обнаружения) позволяют обнаружить систематические погрешности, связанные с действием определенных факторов.

Для обнаружения переменных систематических погрешностей можно использовать точечные диаграммы. Их анализ является сравнительно простым и достаточно эффективным средством, позволяющим выявлять и оценивать переменные систематические погрешности.

Точечную диаграмму строят в координатах «результат измерения X – номер измерения n». Идеальная точечная диаграмма должна состоять из точек, располагающихся на одинаковой высоте, которая соответствует истинному значению измеряемой физической величи-ны Q. Тенденции изменения результатов на точечной диаграмме свидетельствуют о наличии переменных систематических погрешностей и дают возможность провести соответствующую аппроксимирующую линию. Вид используемой аппроксимации соответствует характеру систематических погрешностей. Отклонения результатов от аппроксимирующей линии могут рассматриваться как случайные составляющие погрешности измерения. Для выявления систематической погрешности применяют специальные статистические методы. К ним относятся способ последовательных разностей Аббе, дисперсионный анализ и др.

Способ последовательных разностей (критерий Аббе). Применяется для обнаружения изменяющихся во времени систематических погрешностей (МИ 2091–90). Дисперсию результатов наблюдений можно оценить двумя способами

; (47)

. (48)

При использовании критерия Аббе считают, что в результатах есть систематическая составляющая погрешности измерений, если

, (49)