Погрешность и неопределенность измерений (стр. 3 )

. (17)

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений относительно математического ожидания. Она имеет размерность квадрата случайной величины. Чаще для характеристики разброса значений пользуются положительным корнем квадратным из дисперсии – стандартным (средним квадратическим) отклонением (СКО), которое имеет размерность самой случайной величины.

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, так как они определяют наиболее важные черты распределения – положение центра и степень разбросанности результатов.

Для характеристики некоторых распределений могут быть использованы и другие величины, например коэффициент асимметрии и эксцесс. Коэффициент асимметрии используется для характеристики асимметрии или скошенности распределения. Для его расчета используется третий центральный момент

. (18)

Четвертый центральный момент используется для расчета эксцесса и характеристики плосковершинности распределения.

Точечные оценки законов распределения. Функции распределения вероятностей описывают поведение непрерывных случайных величин, т. е. величин, возможные значения которых неотделимы друг от друга и непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал. Этот конечный или бесконечный интервал, т. е. множество всех рассматриваемых значений, называют генеральной совокупностью.

Генеральная совокупность как множество случайных величин описывается определенным законом и характеризуется своими параметрами (положением центра и рассеиванием), которые определяются по рассмотренным выше формулам. На практике используется ограниченное число измерений и задача состоит в том, чтобы оценить параметры генеральной совокупности (математическое ожидание, дисперсию или СКО) по конечному числу измерений, которые называют выборкой. Каждое единичное измерение, входящее в выборку и полученное при отдельном наблюдении, называется результатом наблюдения.

Операция определения на основе выборочных данных числовых значений параметров распределения, принятых в качестве статистической модели генеральной совокупности, из которой извлечена выборка, называется оцениванием.

Используемая выборка должна быть репрезентативной (представительной), т. е. должна достаточно хорошо представлять генеральную совокупность.

Оценкой является статистика, используемая для оценивания параметра генеральной совокупности. Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. В отличие от параметров генеральной совокупности (математического ожидания, дисперсии, СКО), их точечные оценки являются случайными величинами, значения которых будут зависеть от объема экспериментальных данных, а закон распределения – от законов распределения генеральной совокупности.

Точечные оценки должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными. Состоятельность оценки состоит в том, что при увеличении числа измерений она должна приближаться к истинному значению. Несмещенной является оценка, математическое ожидание которой равно измеряемой величине. Эффективной является оценка, дисперсия которой меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

Точечной оценкой математического ожидания результатов наблюдений является среднее арифметическое значение измеряемой величины. Среднее арифметическое является также оценкой истинного значения измеряемой величины после исключения систематической погрешности. Среднее арифметическое определяется как сумма всех значений, деленная на их число

, (19)

где – i-й результат наблюдения, – число результатов наблюдений.

При любом законе распределения среднее арифметическое является состоятельной и несмещенной оценкой, а также наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов.

Точечная оценка дисперсии представляет собой сумму квадратов отклонений результатов наблюдений от их среднего арифметического , деленную на число наблюдений минус единица

. (20)

Она является также несмещенной и состоятельной.

Стандартное отклонение результатов наблюдений – положительный корень из дисперсии

. (21)

СКО среднего арифметического значения (результата измерений) в раз меньше СКО результата отдельного наблюдения

. (22)

Эта величина характеризует рассеяние среднего арифметического значения результатов наблюдений измеряемой величины относительно его истинного значения.

Для оценки рассеивания значений может быть использована такая характеристика, как размах. Размах (R) – разность между наибольшим и наименьшим наблюдаемыми значениями в ряду результатов наблюдений

. (23)

Чтобы разграничить параметры генеральной совокупности и их точечные оценки, они обозначаются различными символами. Параметры генеральной совокупности: математическое ожидание m, или , дисперсия s2 и стандартное отклонение s. Их выборочные оценки: среднее арифметическое , дисперсия результатов наблюдений и стандартное отклонение , размах .

В теории вероятностей и математической статистике используется множество разнообразных законов, с помощью которых описываются случайные величины. Встречающиеся в метрологии законы распределения также достаточно разнообразны: нормальный, равномерный, треугольный, трапецеидальный, экспоненциальный и др.

Нормальное распределение. Нормальное распределение случайной переменной (распределение Лапласа – Гаусса) – это наиболее важное распределение в метрологии. Его широкое применение объясняется тем, что многие случайные величины достаточно близко описываются этим законом. Особенность его в том, что он является предельным законом, к которому при определенных условиях приближаются другие законы. Нормальный закон проявляется в тех случаях, когда случайная переменная Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х воздействует незначительно, и нельзя указать, какой именно влияет в большей степени, чем остальные.

Нормальное распределение (распределение Лапласа – Гаусса) – распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х такое, что плотность распределения вероятностей при - ¥ < х < + ¥ принимает действительное значение

ехр, (24)

где m – математическое ожидание; s – стандартное отклонение нормального распределения; – независимая переменная.

Величина s 2 –дисперсия нормального распределения.

Функция распределения (интегральная функция) имеет вид

(25)

Как видно из формул, нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами: m и s. Математическое ожидание m характеризует положение центра распределения, а стандартное отклонение s является характеристикой рассеивания. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.

В силу того, что нормальное распределение одномодально и симметрично, то медиана, мода и математическое ожидание совпадают: .

Плотность нормального распределения имеет две точки перегиба , а функция – одну точку перегиба (рис.3)

Нормальное распределение с произвольными параметрами m и s называется общим.

Линейное преобразование нормально распределенной случайной переменной Х, после которого получается случайная переменная Z с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, называется нормированием: .

Нормальное распределение с m = 0, s 2 = 1 называется нормированным (стандартным) нормальным распределением. Вид функции и плотности нормированного нормального распределения представлен на рис. 3.5.