Квантовая механика и некоторые задачи ФТТ (стр. 2 )

Вычислить в произвольный момент времени средние значения операторов координаты и импульса гармонического осциллятора, находящегося в когерентном состоянии (5 баллов). Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний частицы в одномерном поле с потенциальной энергией в квазиклассическом приближении (4 балла). Одной из термоядерных реакций в звездах является реакция . Она возможна, если протонам удастся преодолеть кулоновский барьер и проникнуть в область действия ядерных сил притяжения при см. Оценить в квазиклассическом приближении вероятность подбарьерного проникновения в область расстояний см при центральном столкновении двух протонов с энергией, эквивалентной температуре K, K (3 балла). Рассмотрим модель дейтрона как связанного состояния протона и нейтрона, взаимодействующих за счет центрально-симметричного потенциала в виде прямоугольной ямы радиуса см. Глубина ямы . Известно, что энергия связи дейтрона равна МэВ. Предполагая, что это связанное состояние является мелким () s-волновым уровнем, вычислить необходимую глубину ямы . Рассчитать вероятность того, что расстояние между протоном и нейтроном в дейтроне превышает радиус ямы (6 баллов).

ЗАДАНИЕ № 3 (срок сдачи 30 ноября)

Частица с моментом количества движения находится в состоянии . Вычислить и (3 балла). Гамильтониан квантовой системы имеет вид , где невозмущенный гамильтониан равен , , а оператор возмущения равен , . Найти энергии и волновые функции системы при условии, что >>1. Ответ для волновых функций представить в терминах собственных функций и невозмущенного гамильтониана, имеющих определенную четность (6 баллов). В экспериментах по прецизионному измерению магнитного момента электрона использовалась ловушка Пеннинга в виде комбинации однородного магнитного поля и квадрупольного электростатического потенциала . Найти уровни энергии электрона с магнитным моментом в такой ловушке. Определить квантовые числа двух наиболее близких уровней. Используя экспериментальные значения и , вычислить длину волны излучения, испускаемого при переходе между такими уровнями в приближении . Указание. Решить уравнение Паули с векторным потенциалом магнитного поля в виде методом разделения переменных в цилиндрических координатах , вводя новую радиальную координату (10 баллов). Два тождественных фермиона со спином ½ находятся в одномерной потенциальной яме ширины с бесконечными стенками. Взаимодействие между ними вначале отсутствует. Выписать полные (т. е. включающие спиновую и координатную часть) волновые функции системы, отвечающие четырём низшим энергетическим уровням. Вычислить в первом порядке теории возмущений поправки к найденным уровням энергии за счёт возмущения вида (6 баллов).

ЗАДАНИЕ № 4(срок сдачи 30 декабря).

Атом бора в основном состоянии имеет электронную конфигурацию . Определить картину зеемановского расщепления уровней (с учетом тонкой структуры уровней) в предельных случаях сильного и слабого магнитного поля (7 баллов). Однократно заряженная частица находится на уровне с главным квантовым числом изотропного гармонического осциллятора. Вычислить время жизни частицы на этом уровне, обусловленное однофотонным переходом. Ответ довести до числа в предположении, что масса частицы равна массе атома рубидия, а частота осциллятора Гц. Найти угловое распределение испущенных квантов при излучении из состояний , (0,1,0) и (0,0,1) соответственно. (Нейтральные атомы рубидия в осцилляторном потенциале с аналогичными параметрами изучались в опытах с конденсатом Бозе-Эйнштейна.). Каким окажется время жизни на указанном уровне протона, если характерная энергия для потенциала ядерных сил равна МэВ? (7 баллов) Быстрые электроны рассеиваются протоном, находящимся в ядерном потенциале вида . Найти в борновском приближении дифференциальное сечение упругого рассеяния для случая, когда протон находится в основном состоянии, и неупругого рассеяния с возбуждением протона из основного состояния в состояние с . Конечно или бесконечно дифференциальное сечение, проинтегрированное по всем углам? (6 баллов) В экспериментах Р. Хофштадтера по рассеянию электронов с энергией МэВ на ядрах золота (заряд , атомный номер) измерен квадрат модуля формфактора как функция угла рассеяния. Эта зависимость обнаруживает минимум при угле рассеяния . Рассчитать зарядовый формфактор, рассмотрев две формы зависимости зарядовой плотности ядра от радиуса, и , где . Выразить параметры и через заряд ядра и среднеквадратичный радиус зарядового распределения . В пользу какого из указанных выше распределений плотности свидетельствуют данные эксперимента? Определить из этих данных величину параметров и для ядра золота (5 баллов).

Итого 90 баллов.

Пункты программы, незнание которых влечёт оценку «2» на экзамене.

1. Численные значения физических постоянных в системе СГСЭ. Коэффициент пересчета из эрг в эВ.

2. Оценки энергии основного состояния и характерных размеров по соотношению неопределенностей для гармонического осциллятора и атома водорода (в случае атома водорода оценки довести до числа!).