ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ТВЕРДОГО ТЕЛА
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА и некоторые задачи ФТТ
(5 семестр)
Соотношение между корпускулярной и волновой точками зрения: кванты света, волны де Бройля. Волновая функция, принцип суперпозиции, волновой пакет. Вероятностная интерпретация. Оценки характерных размеров и энергий квантовых систем по соотношению неопределенностей для координаты и импульса. Распределения по координатам и импульсам. Операторы этих величин, их коммутатор. Уравнение Шредингера. Плотность и ток вероятности, уравнение непрерывности. Стационарные состояния. Одномерное движение. Дискретный спектр. Общие свойства решений. Классификация по четности. Нахождение уровней энергии и волновых функций для прямоугольной ямы. Мелкий уровень, дельта-яма. Одномерное движение. Непрерывный спектр. Постановка задачи. Коэффициенты прохождения и отражения. Операторы физических величин. Собственные функции и собственные значения, ортогональность, полнота. Вектор состояния, разложение по базисным векторам. Вид операторов в различных представлениях, переход от одного представления к другому. Условия, при которых две физические величины могут иметь определенные значения в одном состоянии. Дифференцирование операторов по времени. Сохраняющиеся величины. Эволюция состояний во времени. Представление Гайзенберга. Гармонический осциллятор. Спектр и волновые функции с помощью операторов рождения и уничтожения. Когерентные состояния осциллятора. Квазиклассическое приближение. Квазистационарные состояния. Ширина и время жизни. Альфа-распад ядер. Симметрии в квантовой механике. Представление операторами, генераторы преобразований. Сдвиг в пространстве-времени, пространственные повороты. Периодическое поле. Теорема Блоха, зонная структура, квазиимпульс, закон дисперсии. Приближение сильной связи и электронный спектр графена. Орбитальный момент, алгебра его операторов, их собственные функции, собственные значения и матричные элементы. Частица в центральном поле. Атом водорода. Спектр и волновые функции связанных состояний. Уравнение Шредингера для бесспиновой частицы в магнитном поле. Уровни Ландау. Вариационный метод. Стационарная теория возмущений. Влияние электрического поля на спектры атомов. Эффект Штарка в водороде. Квантовая механика частицы со спином ½. Уравнение Паули. Магнитные моменты электрона, протона, нейтрона. Динамика спина ½ во внешнем магнитном поле. Понятие об электронном парамагнитном резонансе и ядерном магнитном резонансе. Сложение моментов. Матричные элементы скалярных и векторных операторов. Правила отбора по моменту количества движения и его проекции на ось
. Квантовые компьютеры: кубиты, основные квантовые вентили, квантовые алгоритмы факторизации, поиска в базе данных и телепортации. Примеры реализации квантовых вентилей на конкретных квантовых системах. Тождественность частиц. Принцип Паули. Элементы теории атома. Атом гелия. Обменное взаимодействие. Таблица Менделеева. LS – взаимодействие и тонкая структура уровней. Определение нормальных термов атомов по правилам Хунда. Магнитный момент атома. Эффект Зеемана. Двухатомная молекула. Классификация состояний. Колебательные и вращательные уровни. Оценки характерных энергий. Валентность. Эволюция состояний с гамильтонианом, зависящим от времени. Внезапное возмущение. Адиабатическое возмущение. Периодическое возмущение. Почти резонансное возмущение. Переходы в непрерывный спектр. Квантование электромагнитного поля. Излучение и поглощение света. Вероятности перехода, спонтанное и индуцированное излучение. Правила отбора. Угловое распределение. Принцип работы лазера. Упругое рассеяние. Амплитуда и сечение, оптическая теорема. Борновское приближение. Критерии применимости для медленных и быстрых частиц. Рассеяние в кулоновском поле. Атомный формфактор. Фазовое представление. Рассеяние медленных частиц. Неупругое рассеяние. Упругое и неупругое рассеяние в конденсированных средах как метод определения их структуры и спектра возбуждений. Примерный план семинарских занятий.
1. Соотношения де Бройля. Применение законов сохранения энергии-импульса в процессах с участием фотонов. Оценки по соотношению неопределенностей.
2. Волновой пакет для нерелятивистских частиц.
3. Яма с бесконечными стенками. Координатное и импульсное распределения. Переход к классическому пределу. Конечная яма. Особенности применения соотношения неопределенностей для мелкой ямы. 
-ямы.
4. Уровни энергии гармонического осциллятора из уравнения Шредингера.
5. Представление Гейзенберга. Вычисление коммутатора операторов при не совпадающих временах.
6. Одномерные задачи в непрерывном спектре. Коэффициенты отражения и прохождения для барьера (ямы) и комбинации барьеров (ям).
7. Задачи в периодическом поле. Нахождение примесного уровня и его волновой функции.
8. Квазиклассический метод нахождения уровней для конкретных потенциалов. Решение задачи о двойной яме путем сшивания квазиклассических волновых функций.
9. Квазистационарные состояния, ширина и время жизни для модельных потенциалов.
10. Орбитальный момент количества движения. Явный вид волновых функций для 
.
11. Сферический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции. Решение в прямоугольных координатах и анализ решения в терминах собственных функций момента импульса для низколежащих состояний.
12. Атом водорода. Явный вид координатных волновых функций. Построение состояний, соответствующих классическим круговым орбитам.
13. Теория возмущений. Ангармонические поправки к уровням энергии осциллятора.
14. Нейтральная частица со спином ½ во внешнем постоянном и переменном магнитном поле. Уровни Ландау однослойного графена в магнитном поле.
15. Простейшие квантовые вентили NOT, CNOT и т. д. Модельная реализация этих вентилей.
16. Тонкая структура уровней на примере спектров щелочных атомов. Эффект Зеемана и Пашена-Бака. Примеры определения основных термов элементов по правилам Хунда.
17. Определение примеси D-волны в волновой функции дейтрона из величины его магнитного момента. Определение спина ядра по сверхтонкой структуре атомных спектров. Поправки к энергии электронов за счет конечных размеров ядер.
18. Теория возмущений, зависящих от времени. Внезапные возмущения. Адиабатические переходы в атоме водорода в переменном электрическом поле. Фотоэффект.
19. Магнито-дипольное излучение при перевороте спина во внешнем магнитном поле.
20. Борновское приближение для амплитуды рассеяния на сферически-симметричных потенциалах разной формы.
21. Неупругое рассеяние быстрых электронов на атоме водорода с возбуждением из основного состояния в состояние c 
.
Литература
, . Квантовая механика. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, вып. 8 и 9. В. Гейзенберг. Физические принципы квантовой теории. Изд. РХД, 2002 г. , . Сборник задач по квантовой механике. , , . Задачи по квантовой механике. . Основы квантовой механики. . Квантовая механика. Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. (Наука, 1978). , . Квантовая механика. РИЦ НГУ (2010). . Введение в физику твердого тела. Издательство «Лань» (2007). , В. А Ткаченко, . Компьютерный
практикум по квантовой механике. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1996.
ЗАДАНИЕ № 1 (срок сдачи 10 октября)
Атомы неона, охлажденные в лазерной ловушке до температуры
K, освобождаются из нее и падают в поле тяжести на плоскость с двумя параллельными щелями. Ширина щелей 2 микрона, расстояние между ними 6 микрон. Плоскость находится на расстоянии 
см от центра ловушки. Под плоскостью на расстоянии 
см находится регистрирующий экран, на котором наблюдается интерференционная картина. Найти расстояние между максимумами интерференционной картины (5 баллов). В опытах с конденсатами Бозе-Эйнштейна частицы первоначально находились в основном состоянии в ловушке, поле которой имеет вид поля анизотропного осциллятора 
. В некоторый момент времени поле выключили. Найти импульсное распределение частиц. Вычислить с его помощью отношения 
, 
. Взаимодействием частиц друг с другом пренебречь (3 балла). Найти энергии и волновые функции стационарных состояний частицы в поле U(x) = -G [δ(x-a) + δ (x) + δ (x+a)]. При каких значениях a число уровней уменьшается до двух, до одного в таком поле? В предельном случае 
>>1 получить явные выражения для уровней энергии. Численно оценить параметр , предполагая, что частица является электроном, -функция моделирует яму глубиной 13.6 эВ, шириной 1 A, расстояние между ямами 
A (6 баллов). Выяснить, при каком соотношении между параметрами поля 
возникает связанное состояние частицы в таком поле. Найти мелкий уровень энергии явно. Пусть справа на этот потенциал падают частицы с энергией 
. Взяв при 
волновую функцию в виде 
показать, что 
и найти выражение для 
. Вычислить величину 
и выяснить ее зависимость от энергии падающих частиц. Исследовать предельный случай 
(8 баллов). ЗАДАНИЕ №2 (срок сдачи 6 ноября)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
