Тематические задачи из разделов «Механика», «Электростатика», «Магнитное поле» (стр. 2 )

Движение тела по наклонной плоскости

Гравитационное поле

Задача № 5 [6]. Брусок массой m находится на наклонной плоскости с углом наклона a. Какую силу, направленную горизонтально (рис. 9), надо приложить к бруску, чтобы он двигался равномерно по наклонной плоскости? Коэффициент трения равен m.

Рис. 9

Решение

Традиционная задача на применение второго закона Ньютона. Указать направление действующих сил (рис. 10), выбрать ИСО (XY), записать второй закон Ньютона в векторном виде с учётом прямолинейного равномерного движения, найти проекции действующих сил на плоскость XY и решить полученную систему уравнений в общем виде.

Рис. 10

. Анализ полученной формулы показывает, что если msina > cosa, то перемещение бруска по наклонной плоскости невозможно.

Перемещение бруска происходит при F(cosα – µsinα) > 0. Это означает, что Fcosα > Fµsinα, т. е. составляющая силы , направленная вдоль наклонной плоскости, больше силы трения, вызываемой другой составляющей силы .

Электрическое поле

Задача № 6 [7, 8]. По наклонной плоскости высотой h с углом наклона к горизонту a соскальзывает без трения тело массой m, имеющее заряд –q (рис. 11). Такой же по модулю положительный заряд +q закреплен в вершине прямого угла. Найдите скорость тела в момент перехода заряда на горизонтальную поверхность.

Рис. 11

Решение

Комбинированная задача на применение закона сохранения энергии в электростатике. Нулевой уровень связываем с основанием наклонной плоскости (рис. 12).

Рис. 12

Так как трение в задаче не учитывается, то закон сохранения энергии имеет вид:

W1кин + W1пот + W1эл = W2кин + W2пот + W2эл,

где: Wкин – кинетическая энергия , Wпот – потенциальная энергия тела в гравитационном поле (Wпот = mgh), Wэл – потенциальная энергия взаимодействия двух электрических зарядов, причем в данной задаче её величина является отрицательной, т. к. один из зарядов, по условию задачи, отрицателен (, a – расстояние между зарядами).

С учетом условия задачи: W1кин = 0, W1пот = mgh, W1эл =, W2кин= , W2пот = 0, получаем равенство . После преобразований получаем выражение для скорости тела в момент перехода на горизонтальную поверхность: .

При скольжении тела потенциальная энергия в гравитационном поле уменьшается, но потенциальная энергия в электрическом поле при α. < π/4 увеличивается. Тело достигнет горизонтальной поверхности, если Δ(Wпот + Wэл) < 0.

Магнитное поле

Задача № 7 [7, 8]. Определите, какую максимальную скорость разовьет заряженное тело, скользящее по наклонной плоскости в однородном магнитном поле с магнитной индукцией и в поле силы тяжести. Масса и заряд тела соответственно равны m и q (q > 0) (рис. 13). Линии магнитной индукции параллельны наклонной плоскости и перпендикулярны вектору скорости тела. Угол наклона плоскости к горизонту равен a. Коэффициент трения тела о плоскость равен m.

Рис. 13

Решение

Комбинированная задача на применение второго закона Ньютона и движение заряженной частицы в магнитном поле: указать направление действующих сил, в том числе и силы Лоренца (по правилу левой руки), выбрать ИСО (XY) (рис. 14). Единственная сложность возникает с вопросом о максимальной скорости. Предполагаем, что максимальное значение скорости возникает при равномерном движении. Записать второй закон Ньютона в векторном виде с учётом прямолинейного равномерного движения.

Рис. 14

Найти проекции действующих сил на плоскость XY и решить полученную систему уравнений в общем виде: .

Полученное выражение справедливо при m < tga. Если , то V = 0. Тело начинает скользить по наклонной плоскости, если mgsinα > µmgcosα, т. е. при µ < tgα. При движении тела возникает сила Лоренца, увеличивающая силу давления и, соответственно, силу трения. При уравновешивании сил наблюдается установившееся равномерное скольжение тела.

Общим при решении задач № 5 и № 7 является условие равномерного движения тела по наклонной плоскости и алгоритм решения задач на использование второго закона Ньютона.

Конический маятник

Гравитационное поле

Задача № 8 [1, 2, 6–8]. Шарик массой m, подвешенный на нити длиной l, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Во время движения нить образует с вертикалью постоянный угол a (рис. 15). Определить: период колебаний конического маятника; кинетическую энергию шарика.

Рис. 15

Решение

Стандартная задача на применение второго закона Ньютона. На рисунке указываем направление всех действующих сил, выбираем инерциальную систему отсчёта, записываем второй закон Ньютона в векторном виде с учётом движения тела по окружности, находим проекции действующих сил на выбранные направления (рис. 16):

Рис. 16

X: , где R = l sina – радиус окружности,

Y: .

Решая систему уравнений, получаем выражение для кинетической энергии шарика . Период колебаний конического маятника определяется отношением длины окружности, описываемой шариком на нити в горизонтальной плоскости, к скорости его движения . – выражение для скорости получено после преобразований второго закона Ньютона в скалярном виде. Окончательно получаем выражение для периода колебаний конического маятника . Можно показать, что при малых углах выражение для периода колебаний конического маятника преобразуется в формулу периода колебаний математического маятника – т. к. при малых углах , то .

Электрическое поле

Задача № 9 [2]. В однородном электрическом поле с вектором напряженности , направленным вертикально вниз, равномерно вращается шарик массой m с положительным зарядом q, подвешенный на нити длиной l. Угол отклонения нити от вертикали равен a (рис. 17). Определить: период колебаний конического маятника; кинетическую энергию шарика.

Рис. 17

Решение

Ход решения аналогичен решению подобной задачи из раздела «Гравитационное поле», добавляется лишь ещё одна сила –с которой однородное электрическое поле действует на положительный заряд, сообщённый шарику (рис. 18):

Рис. 18

Выражение для кинетической энергии шарика, имеет вид . Период колебаний .

Магнитное поле

Задача № 10 [3]. В вертикальном направлении создано однородное постоянное магнитное поле с индукцией . Шарик массой m с зарядом +q, подвешенный на нити длиной l, движется по окружности так, что нить составляет угол a с вертикалью (рис. 19). Найти угловую скорость движения шарика.

Рис. 19

Решение

На рисунке указываем направление всех действующих сил на заряженный шарик. Выбираем ИСО и записываем второй закон Ньютона в векторном виде с учётом движения по окружности (рис. 20). Находим проекции действующих сил на выбранные направления. Используем связь линейной скорости с угловой V = wR, где R = l sina – радиус окружности, описываемой шариком в горизонтальной плоскости.