Тематические задачи из разделов «Механика», «Электростатика», «Магнитное поле» (стр. 3 )

Рис. 20

При положительном направлении вращения (указанном на рис. 20):

X: ,

Y: ,

получаем . Так как V = wR, R = l sina, окончательно получаем qBw lsina + mg tga = mw2l sina.

Последнее выражение приведём к квадратному уравнению в общем виде: . Находим дискриминант и угловую скорость:

.

Знак «минус» означает вращение тела в другую сторону. Изменяя знаки q и B, т. е. направление магнитного поля, получаем соответствующие угловые скорости вращения.

Задача Гюйгенса

Гравитационное поле

Задача № 11 [1, 2, 7, 8]. Шарик висит на легкой нерастяжимой нити длиной l. Определить минимальную горизонтальную скорость, которую необходимо сообщить шарику, чтобы он совершил полный оборот в вертикальной плоскости. Силами сопротивления пренебречь. Рассмотреть также случай, если вместо нити шарик закреплен на конце жесткого невесомого стержня длиной l.

Решение

Комбинированная задача на применение второго закона Ньютона и закона сохранения механической энергии. Единственная сложность связана с условием возможности совершения полного оборота в вертикальной плоскости для шарика, висящего на легкой нерастяжимой нити. Устранить возникшую сложность можно следующим образом.

Рис. 21

Рассмотрим силы (рис. 21), действующие на шарик в произвольной точке траектории: сила натяжения нити, обусловленная её деформацией, и сила тяжести как проявление гравитационного взаимодействия шарика с Землёй, причём данное взаимодействие является всепроникающим, поэтому пренебречь силой тяжести нельзя, а вот сила натяжения нити как раз и мешает преодолеть шарику особенно верхнюю точку траектории. Поэтому чтобы шарик, висящий на легкой нерастяжимой нити, смог на минимальной скорости совершить полный оборот в вертикальной плоскости, необходимо чтобы в верхней точке траектории сила натяжения нити равнялась нулю. Второй закон Ньютона в скалярном виде для верхней точки траектории имеет вид , а закон сохранения механической энергии с учётом выбора нулевого уровня имеет вид . После преобразований последних двух равенств получаем выражение для минимальной горизонтальной скорости, которую необходимо сообщить шарику, висящему на легкой нерастяжимой нити, чтобы он совершил полный оборот в вертикальной плоскости .

Для случая, когда шарик закреплен на конце жесткого невесомого стержня длиной l, условие прохождения верхней точки траектории таково: в верхней точке траектории кинетическая энергия должна обратиться в нуль, тогда шарик продолжит движение по инерции за счёт запаса потенциальной энергии. Закон сохранения полной механической энергии в данном случае имеет вид , а минимальная скорость определяется выражением .

Электрическое поле

Задача № 12 [7, 8]. Какую минимальную горизонтальную скорость надо сообщить маленькому шарику, несущему положительный заряд q и висящему на легкой нерастяжимой непроводящей нити длиной l, чтобы он сделал полный оборот в вертикальной плоскости? Шарик находится в однородном электрическом поле напряженностью E (рис. 22). Силы сопротивления отсутствуют.

Рис. 22

Решение

С учетом условия прохождения верхней точки траектории (рис. 23), второй закон Ньютона в скалярном виде имеет вид .

Рис. 23

Записываем закон сохранения энергии с учётом выбора нулевого уровня , где Wэл – энергия взаимодействия электрического заряда с однородным электрическим полем, проведя аналогию с гравитационным полем вблизи поверхности Земли, окончательно имеем . Объединяя второй закон Ньютона в скалярном виде и закон сохранения энергии, получаем выражение для минимальной скорости .

Магнитное поле

Задача № 13 [3, 5, 7, 8]. Небольшое заряженное тело массой m с зарядом +q, прикрепленное к изолированной нити длиной l, может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Вращение происходит в магнитном поле с магнитной индукцией . Вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 24). При какой наименьшей скорости тела Vmin в нижней точке оно сможет совершить полный оборот?

Рис. 24

Решение

Из условия минимальности скорости в нижней точке траектории необходимо, чтобы сила натяжения нити в верхней точке была равна нулю, тогда второй закон Ньютона в скалярном виде для верхней точки траектории имеет вид .

Рис. 25

Магнитное поле работы не совершает, т. к. сила Лоренца направлена перпендикулярно вектору скорости (рис. 25), тогда закон сохранения энергии с учётом выбора нулевого уровня имеет вид . Как показывает практика, дальнейшее решение задачи в общем виде всегда вызывает огромные затруднения. Поэтому, рассмотрим подробное решение.

·  Из закона сохранения энергии . (1)

·  Второй закон Ньютона в скалярном виде приведём к квадратному уравнению в общем виде .

·  Находим дискриминант .

·  Записываем формулу корней в общем виде .

·  Из полученной формулы видно, что имеет смысл выражение .

·  После подстановки получаем .

·  Под знаком квадратного корня за скобки вынесем множитель , тогда

,

,

.

·  Возведём в квадрат обе части равенства: .

·  Полученное выражение для квадрата скорости, подставляем в выражение для Vmin, т. е. в формулу (1).

·  .

·  Преобразуем полученное выражение следующим образом

раскрываем скобки

В задачах под общей тематикой «Задача Гюйгенса», единым являются как подход к решению, так и условие прохождения шариком, висящего на лёгкой нерастяжимой нити, верхней точки окружности при его вращении в вертикальной плоскости. Задачи подобного типа встречаются во многих задачниках и могут быть дополнены применением закона сохранения составляющей импульса, как например, в задаче № 14.

Задача № 14 [7]. Пробирка массой m1 = 30 г подвешена горизонтально на невесомой тонкой нити длиной l = 50 см и закрыта пробкой массой m2 = 5 г. При нагреве пробирки давление воздуха в ней повышается и пробка вылетает. С какой минимальной скоростью должна вылететь пробка, чтобы пробирка на нити сделала полный оборот в вертикальной плоскости?

Решение

Выполняем рисунок, на котором выделяем два основных положения пробирки: нижняя точка и верхнее положение (рис. 26).