Тематические задачи из разделов «Механика», «Электростатика», «Магнитное поле» (стр. 4 )

Рис. 26

Т. к. m1gx = 0, m2gx = 0, Tx = 0, то выполняется закон сохранения составляющей импульса (в проекции на ось X) m1V1 = m2V2. Рассмотрим силы, действующие на пробирку в произвольной точке траектории: сила натяжения нити, обусловленная её деформацией, и сила тяжести – как проявление гравитационного взаимодействия пробирки с Землёй, причём данное взаимодействие является всепроникающим, поэтому пренебречь силой тяжести нельзя, а вот сила натяжения нити, как раз и мешает преодолеть пробирке особенно верхнюю точку траектории. Поэтому чтобы тело, висящее на легкой нерастяжимой нити смогло на минимальной скорости совершить полный оборот в вертикальной плоскости, необходимо чтобы в верхней точке траектории сила натяжения нити равнялась нулю, тогда второй закон Ньютона (для пробирки) в скалярном виде имеет вид . Закон сохранения энергии, с учётом выбора нулевого уровня, имеет вид . После преобразований, получаем выражение для минимальной скорости пробки .

Тело на вершине гладкой полусферы

Гравитационное поле

Задача № 15 [2, 7]. Маленькая шайба начинает скользит из верхней точки неподвижной гладкой полусферы радиусом R (рис. 27). На какой высоте h от основания полусферы шайба оторвется от ее поверхности?

Рис. 27

Решение

Это комбинированная задача на применение второго закона Ньютона и закона сохранения механической энергии. Закон сохранения механической энергии, с учётом выбора нулевого уровня, имеет вид , где V – скорость тела в момент отрыва от полусферы.

Рис. 28

Важно уяснить, что в момент отрыва шайбы от гладкой поверхности неподвижной полусферы сила реакции опоры равна нулю, следовательно, второй закон Ньютона в скалярном виде (в проекции на ось Y, рис. 28), имеет вид . После преобразований получаем выражение для высоты, на которой шайба оторвётся от поверхности гладкой неподвижной полусферы:

Электрическое поле

Задача № 16 (задача составлена автором). Небольшое тело массой m, имеющее положительный заряд q, начинает скользить с вершины неподвижной гладкой полусферы радиусом R (рис. 29), заряженной положительным зарядом. Напряженность электрического поля на поверхности сферы равна E. На какой высоте, считая от основания полусферы, тело оторвется от нее?

Рис. 29

Решение

Комбинированная задача на применение второго закона Ньютона и закона сохранения энергии в электростатике. Так как заряженная полусфера является поверхностью равного потенциала, то электрическое поле работы не совершает, следовательно, закон сохранения энергии, с учётом выбора нулевого уровня, имеет вид , V – скорость тела в момент отрыва от полусферы. В момент отрыва тела от гладкой поверхности неподвижной полусферы, сила реакции опоры равна нулю, поэтому второй закон Ньютона в скалярном виде (в проекции на ось Y, рис. 30), имеет вид .

Рис. 30

После преобразований получаем выражение для высоты: .

Магнитное поле

Задача № 17 [8]. Небольшое тело массой m и зарядом +q начинает соскальзывать без начальной скорости с вершины гладкой полусферы радиусом R. В пространстве создано однородное магнитное поле, линии индукции которого направлены как показано на рис. 31. Если тело скользить вправо, то в момент отрыва от поверхности его скорость равна V1. Если тело скользить влево, то в момент отрыва от поверхности его скорость равна V2. Найти модуль вектора магнитной индукции.

Примечание. Ввиду неустойчивости рассматриваемого движения считаем, что тело движется по узенькому желобку.

Рис. 31

Решение

Комбинированная задача на применение второго закона Ньютона и закона сохранения механической энергии. Для каждого случая выполним рис. 32, на котором укажем направление всех действующих сил в момент отрыва тела от поверхности полусферы (в момент отрыва сила реакции опоры N = 0), выберем ИСО, применим второй закон Ньютона, с учётом движения тела по окружности.

Рис. 32

X1: ,

X2: .

Сила Лоренца работу не совершает, т. к. направлена перпендикулярно вектору скорости, следовательно, закон сохранения энергии с учётом выбора нулевого уровня (рис. 33) имеет вид

Рис. 33

при скольжении тела вправо и при скольжении тела влево. Из геометрических соображений, и . Тогда после преобразований и .

Из полученных уравнений выражаем , и подставляем во второй закон Ньютона в скалярном виде

, .

Раскрываем скобки в левых частях равенств и преобразуем:

, .

После преобразований в правых частях равенств, получаем и . Решая совместно систему уравнений, получаем

После анализа решения задач по теме: «Тело на вершине гладкой полусферы», можно выделить следующие общие элементы решения: 1) единый подход к решению задач – использование второго закона Ньютона с учётом движения тела по окружности и использование закона сохранения механической энергии; 2) равенство нулю силы реакции опоры в момент отрыва тела от поверхности гладкой полусферы.

Тело на нити

Гравитационное поле

Задача № 18 [2, 7]. Шарик массой m подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной l. Шарик отклонили на угол 90° от вертикали и отпустили (рис. 34). Определить силу натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия. Сопротивление не учитывать.

Рис. 34

Решение

Закон сохранения механической энергии, с учётом выбора нулевого уровня (рис. 35) имеет вид .

Рис. 35

Используем второй закон Ньютона для момента прохождения шариком положения равновесия. В скалярном виде . После преобразований сила натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия имеет вид T = 3mg.

Электрическое поле

Задача № 19 (задача составлена автором). Шарик массой m и зарядом +q, закреплённый в точке O на невесомой нерастяжимой нити длиной l, находится в однородном электрическом поле напряженностью . Вектор напряженности направлен вертикально вниз (рис. 36). Шарик отводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить натяжение нити в момент прохождения шариком положения равновесия. Сопротивление не учитывать.