Оптимизация псевдоградиента в задаче оценивания межкадровых геометрических деформаций изображений

ОПТИМИЗАЦИЯ ПСЕВДОГРАДИЕНТА В ЗАДАЧЕ
ОЦЕНИВАНИЯ МЕЖКАДРОВЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ДЕФОРМАЦИЙ ИЗОБРАЖЕНИЙ1

2, 2, 2, 2

2 Ульяновский государственный технический университет
432027, Россия, 2,
телефон [phone], e-mail: *****@***ru

При псевдоградиентном оценивании параметров изображений характер сходимости оценок и вычислительные затраты зависят от объема локальной выборки отсчетов изображений, используемой для нахождения псевдоградиента. В работе рассмотрено решение задачи оптимизации объема локальной выборки по критерию минимума вычислительных затрат при оценивании межкадровых геометрических деформаций изображений.

При решении задачи оценивания межкадровых геометрических деформаций изображений (МГДИ) применяются псевдоградиентные процедуры (ПГП) [1]

,

где  ‑ вектор оцениваемых параметров МГДИ и ;  ‑ псевдоградиент целевой функции , характеризующей качество оценивания;  ‑ матрица усиления, задающая приращение оценки параметров на -й итерации;  ‑ локальная выборка отсчетов изображений и , используемая для нахождения на ‑й итерации; и – наблюдаемые изображения. Очевидно, что объем локальной выборки (ОЛВ) во многом определяет вычислительные затраты, необходимые для реализации ПГП.

Рассмотрим задачу оптимизации ОЛВ ПГП по критерию минимума вычислительных затрат при оценивании одного параметра МГДИ. При этом модуль рассогласования оценки параметра в процессе оценивания должен измениться от некоторого максимального до некоторого минимального значений, где  ‑ точное значение параметра. Обозначим через вычислительные затраты, необходимые для выполнения ПГП ‑й итерации при объеме локальной выборки, равном , а через - суммарные вычислительные затраты, требующиеся для уменьшения рассогласования от до , где - число итераций, необходимое для выполнения условия . Кроме того, отношение вычислительных затрат на ‑й итерации к математическому ожиданию скорости сходимости оценки параметра (вычислительные затраты на единицу скорости сходимости оценки параметра) назовем приведенными вычислительными затратами

,

где - численно равно разности между математическими ожиданиями оценки на ‑й и ‑й итерациями;  ‑ плотность распределения вероятностей (ПРВ) оценки .

Минимум вычислительных затрат на каждой отдельной итерации будет обеспечиваться при ОЛВ, дающем минимальные приведенных вычислительные затраты. Такой объем ОЛВ для ‑й итерации будем считать оптимальным и обозначать :

. (1)

Рассогласование оценки параметра за итераций ПГП должно измениться от до , поэтому выбор на каждой итерации ОЛВ в соответствии с (1) обеспечивает и минимальные суммарные вычислительные затраты .

Рассмотрим алгоритм нахождения оптимальной зависимости ОЛВ от числа итераций

. (2)

Для конкретности сделаем некоторые допущения. Так, вычислительные затраты на выполнение алгоритмом одной итерации разделим на две составляющие: затраты на формирование локальной выборки () и остальные вычислительные затраты ():

.

Кроме того, для простоты затраты на формирование локальной выборки будем считать пропорциональными объему локальной выборки: , где  ‑ вычислительные затраты при . Тогда

.

Учитывая введенные ограничения, для построения алгоритма нахождения (2) нужно найти выражения для расчета математического ожидания скорости сходимости оценки параметра. Это можно сделать через ПРВ рассогласования . Однако, в этой работе рассмотрим упрощенную методику расчета , основанную на использовании шага изменения оценки параметра на ‑й итерации, математического ожидания рассогласования оценки и вероятностей ухудшения () и улучшения () оценки на на ‑й итерации [2]. В самом деле, прогноз математического ожидания рассогласования оценки на ‑й итерации может быть представлен как

.

Тогда

.

Таким образом, математическое ожидание скорости сходимости оценки параметра на ‑й итерации может быть выражено через , и шаг .

Предположим, что , тогда

.,

где  ‑ коэффициент улучшения оценки (КУО). В начале расчета в качестве начального приближения оценки () задается максимальное рассогласование параметра . Затем для моделирования первой итерации переменная , соответствующая номеру итерации, увеличивается на единицу. При моделировании любой итерации начальное значение ОЛВ задается единичным: . Для заданных значений и рассчитываются КУО , вычислительные затраты и скорость сходимости оценки при данных рассогласовании и ОЛВ . Затем находятся приведенные вычислительные затраты , которые в сравниваются с затратами, полученными при ОЛВ . Если , то ОЛВ увеличивается на единицу и вычисляется очередное значение . Если же , то записывается оптимальное значение ОЛВ для ‑й итерации, равное . Затем вычисляется новое рассогласование оценки . Если , то находится оптимальный ОЛВ для следующей ‑й итерации, если же , то работа алгоритма заканчивается.

Примеры рассчитанных по приведенному алгоритму оптимальных ОЛВ как функции рассогласования оценки параллельного сдвига двух изображений при значении параметра , равном 25 и 16,6 приведены на рис. 1,а и рис. 1,б соответственно.

а)

б)

Рис. 1. Зависимость оптимального ОЛВ
от номера итерации

При расчете была принята аддитивная модель наблюдаемых изображений , , где  ‑ полезное случайное поле с известной монотонно убывающей автокорреляционной функцией; , - мешающие независимые гауссовские случайные поля с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями . На приведенных графиках нижняя кривая соответствует отсутствию шума, средняя – отношению сигнал/шум , верхняя – 15.

Анализ зависимостей показывает, что при отсутствии шумов оптимальный ОЛВ монотонно уменьшается при уменьшении рассогласования оценки. При наличии шумов при малых рассогласованиях ОЛВ вновь возрастает, что вызвано уменьшением КУО. Кроме того, при меньшей доли вычислительных затрат на формирование ОЛВ диапазон изменения оптимального ОЛВ больше.

В таблице приведены численные результаты, показывающие проигрыш в вычислительных затратах при постоянном ОЛВ, равном 1, и по сравнению со случаем использования оптимального ОЛВ, где – средний ОЛВ на итерации,  – общее число итераций ПГП. При этом проигрыш в вычислительных затратах рассчитан при отношении сигнал/шум , равном 0, 2, 5, 10, 20. Видно, что с увеличением отношения сигнал/шум проигрыш уменьшается.

Таблица. Проигрыш в вычислительных затратах по сравнению со случаем
использования оптимального ОЛВ, в %

Отношение сигнал/шум	Используемый объем локальной выборки
	48,8	4,63	3,78	5,75
	60,9	0,58	0,43	0,81
	59,8	1,23	1,3	1,91
	58,2	2,18	1,74	3,22
	56,7	2,72	2,53	4,46

Таким образом, предложенная методика позволяет решить задачу расчета оптимального ОЛВ по критерию минимума вычислительных затрат.

Список литературы

1. Tashlinskii putational Expenditure Reduction in Pseudo-Gradient Image Parameter Estimation / Computational Science – ICCS 2003, vol. 2658, Proceeding, part II. – Berlin: Springer, 2003,
pp. 456-462.

2. Tashlinskii A. G. The Efficiency of Pseudogradient Procedures for the Estimation of Image Parameters with a Finite Number of Iterations / Pattern Recognition and Image Analysis, vol.8, 1998, pp. 260-261.