М - учитель МОУ «Средняя школа №33»
Урок геометрии по теме « Теорема косинусов»
Цели урока:
ввести теорему косинусов; проследить историю развития тригонометрии и возникновения теорем синусов и косинусов;
содействовать развитию математического мышления;
способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, сравнивать и делать выводы.
Ход урока:
1. Организационный момент.
Учитель. Ребята, на наш урок сегодня я пригласила историка. Он расскажет нам об истории возникновения и развития тригонометрии, кем и когда были введена теорема синусов и косинусов. Я предоставляю ему слово (слайд 1).
Историк. Слово тригонометрия от греческого слова «тригон»- треугольник и «метрео» - измеряю и означает «измерение треугольников». Возникновение тригонометрии связано с развитием астрономии – науки о небесных телах, о строении и развитии Вселенной. Зачатки тригонометрии обнаружены в сохранившихся документах Древнего Вавилона, где астрономия достигла значительного развития. Вавилонские ученые составили одну из первых карт звездного неба. Некоторые сведения тригонометрического характера встречаются и в старинных памятниках других народов древности. Древнегреческие ученые впервые поставили перед собой задачу решения прямоугольного треугольника, т. е нахождения его элементов по трем данным.
Выдающийся ученый Насир - ад - Дин, уроженец иранского города Тус, первый открыл путь к отделению тригонометрии от астрономии и выделению ее в самостоятельную дисциплину. Его труд « Трактат о полном четырехугольнике» является первым в мире сочинением, специально посвященным тригонометрии и оказал огромное влияние на европейских математиков, в частности на Региомонтана, который является автором труда «Пять книг о треугольниках всех видов». Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонардо Эйлера. Он установил несколько неизвестных до него формул и ввел единообразные знаки: у него впервые встречаются запись синуса, тангенса и другие современные обозначения, строчные буквы а,b, с для обозначения сторон треугольника, прописные буквы А, В, С для противоположных углов.
2. Повторение пройденного материала.
Учитель. На прошлом уроке мы изучили одну из важных теорем геометрии - теорему синусов. Давайте ее вспомним (слайд 2).
Вопрос: Сформулируйте теорему синусов и запишите соотношения между сторонами и углами треугольника, используя рисунок.
А теперь я вновь предоставляю слово историку (слайд 3).
Историк. Ученые Индии, как и ученые стран ислама 9-10 веков сводили решение любых треугольников к решению прямоугольных треугольников и поэтому не нуждались в теореме синусов и ее не знали.. Эта теорема была доказана лишь в 11 веке уроженцем Хорезма, выдающимся астрономом ал - Беруни.. Европейские ученые стали использовать эту теорему начиная с 16 века.
Учитель. Теорема синусов имеет большое практическое применение. В подтверждение этого решим задачу практического содержания с использованием теоремы синусов (слайд 4)
Задача. Измерение расстояния до недоступной точки.
Решение. Допустим, что нам надо найти расстояние от объекта А до недоступного объекта С. Для этого 1) на местности отмечаем точку В и измеряем расстояние АВ
2) С помощью астролябии измеряем углы А и В и получаем 
АВС.
1) Используя теорему синусов запишем 
=
.
2) 
С = 1800- ( А +В) = 180о - ( 55о+ 85о) = 40о.
3) 
= 
; АС= 120 (м).
3. Изучение нового материала.
Учитель. Сегодня мы познакомимся с еще одной из важнейших теорем геометрии - теоремой косинусов и узнаем историю ее возникновения, когда и кем она была введена.
Сформулируем эту теорему (слайд 5). Докажем ее (у доски учащийся доказывает теорему).
Вопрос. Как используя теорему косинусов найти сторону с и b?
А теперь вновь предоставляю слово историку.
Историк (слайд 6) Теорема косинусов была по существу доказана еще в «Началах» Евклида, а именно в 12-м, 13-м предложениях 2 книги. Герон Александрийский, ученые Индии и стран Ближнего и среднего Востока: Бхаскара, ал - Беруни, как и некоторые европейские математики Региомонтан и Фибоначчи пользовались формулами, близкими к нашим. Однако впервые теорема косинусов была явно сформулирована в 16 веке французским математиком Франсуа Виетом в 1579 году. Современный вид теорема косинусов принимает в 1801 году у французского математика Лазаро Карно.
4. Закрепление нового материала.
А сейчас давайте решим задачу, с использованием теоремы косинусов. Открыли рабочие тетради (на печатной основе) №44.
Этапы решения задачи: 1) совместное обсуждение решения задачи. 2) оформление решения задачи в тетради (слайд 7).
Историк (слайд 8) Французский математик Лагранж вывел в 1799 году теорему синусов из теоремы косинусов. Другой французский математик Коши вывел теорему косинусов из теоремы синусов
.5.Это любопытно!
Учитель. Теорему косинусов называют обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. Давайте выясним почему? (у доски работает учащийся).
Применим теорему косинусов для прямоугольного треугольника:
с2= а2+ b2 –2аbcosС; т. к С= 900; то cos С= 0; значит с2= а2+ b2 – теорема Пифагора.
Учитель. Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда “ослиный мост” или “ бегство уьогих”, т. к некоторые “убогие “ученики, не имеющие серъезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания и прозванные за это “ослами”, не были в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непроходимого моста. Я думаю, что мы не относимся к их числу, потому, что разберем еще одно доказательства теоремы Пифагора и оно не будет для нас трудным. Это доказательство содержится в одном из произведений Бхаскары.
Доказательство: Пусть дан квадрат со стороной с. Разобьем его на 4-е равных прямоугольных треугольника с катетами а и b и квадрат со стороной (b-a).Значит,
1) S= c2
2) S= 4*
ab + (b-a)2= 2ab+ b2 – 2ab +a2 = b2 + a2 .
3) Из (1) и (2) получим c2 = b2 + a2 (слайд 9).
6.Итоги урока.
(слайд 10) Сегодня на уроке мы познакомились с теоремой косинусов, с историей появления этой теоремы, применяли ее для решения задач. Но для того, чтобы знания, полученные на уроке закрепились, нужно еще поработать дома.
А. Дистервег сказал: “Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщится, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами и собственным напряжением».
Домашнее задание. п.98; учебник № 000, р/т №45.
