План решения. Косинус угла 
между векторами 
и 
определяется формулой
(1)
1. Чтобы вычислить длины векторов 
и 
и скалярное произведение 
, находим координаты векторов
2. По формулам длины вектора и скалярного произведения векторов находим
3. Вычисляем 
по формуле (1).
Замечание. Скалярное произведение векторов также может обозначаться 
.
Задача 3. Найти косинус угла между векторами и .
Имеем
Находим
Перейти к содержанию
4. Площадь параллелограмма
Постановка задачи. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, если известно, что 
и угол между векторами 
и 
равен
.
План решения. Площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, численно равна модулю их векторного произведения
. (1)
1. Вычисляем векторное произведение 
, используя его свойства
2. Находим площадь параллелограмма по формуле (1), используя определение векторного произведения:
.
Замечание. Векторное произведение векторов может также обозначаться 
.
Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
Находим
Перейти к содержанию
5. Компланарность векторов
Постановка задачи. Комланарны ли векторы 
, 
и 
.
План решения. Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельных плоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение 
было равно нулю.
1. Смешанное произведении векторов выражается через их координаты формулой
.
2. Если определитель в правой части этого равенства равен нулю, то векторы компланарны; если же определитель не равен нулю, то векторы не компланарны.
Задача 5. Компланарны ли векторы , и 
?
Находим
.
Т. е. векторы , и не компланарны.
Перейти к содержанию
6. Объем и высота тетраэдра
Постановка задачи. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках
и его высоту, опущенную из вершины 
на грань 
.
План решения.
1. Из вершины 
проведем векторы
,
,
.
2. В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем
. (1)
С другой стороны
,
где согласно геометрическому смыслу векторного произведения
. (2)
Сравнивая формулы (1) и (2), получаем
. (3)
2. Вычисляем смешанное произведение
и находим объем тетраэдра по формуле (1).
3. Вычисляем координаты векторного произведения
и его модуль.
4. Находим высоту 
по формуле (3).
Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 
и его высоту, опущенную из вершины 
на грань .
Находим
.
.
.
Перейти к содержанию
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
