Мартин Гарднер. А ну-ка, догадайся! (стр. 10 )

Необычное завещание

Один адвокат, скопивший немалое состояние, собрал коллекцию из 11 старинных машин, каждую из которых знатоки оценивали примерно в 25 000 долларов.

После смерти адвокат оставил необычное завещание. По его воле 11 машин должны были быть разделены между 3 его сыновьями. Половина машин должна была отойти старшему сыну, четверть - среднему и одна шестая - младшему.

Сыновья были не на шутку озадачены. Ну как можно разделить пополам 11 машин или, скажем, отделить от них четверть или одну шестую?

В разгар споров по поводу наследства мимо проезжала в своей новой спортивной машине знаменитый нумеролог миссис Зеро. М-с Зеро. Хэлло, мальчики! Что-то вид у вас не очень веселый. Может быть, я могу вам чем-нибудь помочь?

После того как братья объяснили миссис Зеро суть своих затруднений, она поставила свою машину рядом с 11 коллекционными машинами и выпорхнула из нее. М-с Зеро. Сколько теперь машин перед вами? Братья сосчитали - получилось 12 машин. Затем миссис Зеро разделила 12 машин в соответствии с завещанием. Половину, или 6 машин, она отдала старшему сыну, четвертую часть, или 3 машины, - среднему сыну, и шестую часть, или 2 машины, - младшему сыну. М-с 3еро. 6 плюс 3 плюс 2 - 11 машин. Одна машина лишняя, это моя машина.

Изящно впорхнув в свою машину, миссис Зеро дала газ и умчалась. М-с Зеро. Всегда к вашим услугам, мальчики! Счет за консультацию я пришлю вам попозже.

Этот парадокс представляет собой современный вариант старинной арабской головоломки, в котором вместо лошадей речь идет о машинах. Вы можете по своему усмотрению изменять завещание старого чудака, варьируя число машин в оставшейся после него коллекции и доли наследства, причитающиеся его сыновьям, следя лишь за тем, чтобы соблюдалось единственное условие: пополнив коллекцию еще одной машиной, сыновья получали возможность разделить наследство в соответствии с завещанием и вернуть "лишнюю" машину тому, кто любезно одолжил им ее.

Например, коллекция, оставшаяся после смерти адвоката, могла бы насчитывать 17 машин, а в завещании могло бы говориться о том, что сыновья должны получить соответственно 1/2, 1/3 и 1/9 всех машин. Если n - число машин в коллекции, а 1/a, 1/b и 1/c - доли, причитающиеся сыновьям по наследству, то парадокс возникает только в том случае, если уравнение

 n/(n+1) = 1/a + 1/b + 1/c

допускает решение в положительных целых числах. Удастся ли вам обобщить задачу на случай большего числа наследников и машин, занимаемых для того, чтобы стал возможным раздел наследства в соответствии с завещанием?

Решение парадокса состоит в том, что сумма долей, указанных в завещании, меньше 1. Если бы сыновья во исполнение завещания вздумали бы резать машины, то после раздела наследства 11/12 машины остались бы "невостребованными". Миссис Зеро, по существу, показала братьям, как распределить между ними эти дополнительные 11/12 машины. В результате старший сын получает на 6/12, средний - на 3/12 и младший - на 2/12 машины больше, чем получили бы первоначально. В сумме эти три дроби (6/12 + 3/12 + 2/12) составляют 11/12, а поскольку каждый сын получает целое число машин, необходимость в разрезании машин отпадает.

Необыкновенный код

Доктор Зета, ученый из галактики Геликс, лежащей в другом измерении пространства - времени, прибыл на Землю для сбора научной информации об ее обитателях. В США он был гостем доктора Германа.

Д-р Герман. Почему бы вам не прихватить с собой Британскую энциклопедию? В ней в сжатом виде изложен колоссальный опыт всего человечества. Д-р Зета. Великолепная идея! Жаль только, что я не смогу взять с собой столь большую массу.

Д-р Зета. Впрочем, я могу закодировать энциклопедию на этом металлическом стержне. Для этого мне понадобится нанести на него одну-единственную риску. Д-р Герман. Вы шутите, коллега? Разве может одна-единственная риска нести такое огромное количество информации?

Д-р 3ета. Разумеется, может, мой дорогой Герман! В вашей энциклопедии меньше тысячи букв и специальных знаков. Каждую букву и каждый знак я обозначу числами от 1 до 999, добавляя в случае необходимости нули слева, чтобы все коды были трехзначными.

Д-р Герман. Я не вполне уловил вашу мысль. Как, например, вы закодируете слово "КОТ"? Д-р 3ета. Очень просто. Закодирую каждую из трех букв так, как я только что говорил, и получу 003001020.

С помощью своего мощного карманного компьютера доктор Зета быстро считал строку за строкой Британскую энциклопедию и закодировал весь текст в виде одного гигантского числа. Поставив перед ним нуль с запятой, он превратил это число в конечную десятичную дробь.

Затем доктор Зета нанес риску на металлический стержень, разделив его па две части (a и b) так, чтобы их отношение было равно полученной дроби.

Д-р Зета. Когда я вернусь на родную планету, один из наших компьютеров измерит отрезки a и b и вычислит дробь a/b. Затем он декодирует ее и отпечатает для нас всю вашу энциклопедию!

Если вы никогда не сталкивались с проблемами кодирования и декодирования, то вам, несомненно, будет интересно самостоятельно закодировать и декодировать несколько простых сообщений с помощью какого-нибудь числового кода, аналогичного предложенному доктором Зета. Коды позволяют нам прочувствовать всю важность взаимно-однозначного соответствия и отображения структуры на изоморфную структуру. Такие коды находят применение в высших разделах теории доказательств, Курт Гёдель доказал свою знаменитую теорему о том, что в каждой достаточно сложной (содержащей аксиомы арифметики целых чисел) дедуктивной системе существуют утверждения, которые в рамках этой системы невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Доказательство Гёделя основано на использовании числового кода, позволяющего сопоставить каждой теореме дедуктивной системы единственное и очень большое целое число.

Разумеется, кодирование всей энциклопедии с помощью одной-единственной риски на стрежне хорошо лишь в теории, но отнюдь не на практике. Трудность состоит в том, что необходимая для такого кодирования точность недостижима. Ширина риски должна быть меньше размеров электрона, и длину обоих отрезков a и b необходимо измерять с такой же точностью. Но если предположить, что два отрезка можно измерить с точностью, достаточной для получения требуемой дроби, то метод доктора Зета следует признать вполне осуществимым.

Обратимся теперь к иррациональным числам. Математики считают, что десятичное разложение числа pi "бесструктурно", как любая другая бесконечная последовательность случайных цифр. Если это так, то можно утверждать, что какой бы конечный набор цифр мы ни взяли, в разложении pi найдется совпадающий с ним отрезок. Иначе говоря, где-то в разложении числа pi встречается отрезок, совпадающий с закодированной доктором Зета Британской энциклопедией. Более того, где-то в десятичном разложении числа л встречаются отрезки, совпадающие с закодированными текстами всех когда-либо напечатанных работ и даже всех сочинений, которые когда-нибудь будут созданы!

Любой конечный набор цифр встречается и в десятичных разложениях иррациональных чисел, в которых распределение цифр не случайно, а подчинено простым и ясным закономерностям. Например, любой конечный набор цифр заведомо встречается в десятичном разложении

0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …

(после запятой выписаны подряд все целые числа).

Гостиница "Бесконечность"

Перед своим отлетом доктор Зета поведал поистине фантастическую историю. Д-р 3ета. В самом центре нашей галактики находится огромная гостиница "Бесконечность". В ней действительно бесконечно много однокомнатных номеров, уходящих через черную дыру в другое измерение. В гостинице есть первый номер, есть второй (комнаты перенумерованы по порядку), но нет последнего.

Д-р Зета. Однажды в гостиницу по пути в другую галактику заглянул командир неизвестного летающего объекта (НЛО).

Д-р Зета. Хотя ни одного свободного места не было, управляющий гостиницей все же нашел способ устроить пилота: он попросил каждого обитателя гостиницы переселиться в комнату с номером на единицу больше, чем у той, в которой тот проживал прежде, и поселил командира НЛО в освободившийся первый номер.

Д-р 3ета. На следующий день в гостиницу прибыли 5 супружеских пар, совершавших свадебное путешествие. Управляющий и тут не растерялся и, переселив каждого обитателя гостиницы в комнату с номером на 5 больше, чем у той, в которой тот проживал прежде, отвел супружеским парам освободившиеся комнаты с номерами от 1 до 5.

Д-р Зета. В конце недели в гостиницу нагрянули участники съезда продавцов жевательной резинки. Их было бесконечно много. Д-р Герман. Я в силах понять, как управляющий гостиницы "Бесконечность" мог бы разместить любое конечное число вновь прибывших, но как разместить бесконечное множество гостей?

Д-р 3ета. Управляющий легко справился и с этой задачей: каждого обитателя гостиницы он переселил в комнату с номером вдвое больше, чем у той, которую тот занимал прежде.

Д-р Герман. Понял! Все прежние постояльцы гостиницы оказались после переселения в комнатах с четными номерами, а бесконечное множество освободившихся комнат с нечетными номерами управляющий предоставил продавцам жевательной резинки.

Ни одно конечное множество невозможно поставить во взаимно-однозначное соответствие с любым из его собственных подмножеств. В случае бесконечных множеств такое утверждение неверно. Бесконечные множества нарушают старое правило "часть меньше целого". Бесконечное множество можно определить как множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с собственным подмножеством.