Мартин Гарднер. А ну-ка, догадайся! (стр. 17 )

Не существует никаких данных, позволяющих утверждать о том, будто наше пространство перекручено, как лист Мёбиуса. Тем не менее ученые, занимающиеся космологией, охотно рассматривают различные модели пространства, в том числе и модели с кручением. Для того чтобы понять, каким образом флатландец, совершив кругосветное путешествие по листу Мёбиуса, переходит в свое зеркальное отражение, важно не упускать из виду одно существенное обстоятельство: нулевую толщину листа Мёбиуса. Любая бумажная модель листа Мёбиуса в действительности представляет собой объемное тело, так как бумага имеет конечную толщину. Мы же должны исходить из предположения о том, что идеальный лист Мёбиуса имеет нулевую толщину.

Плоская фигура, начерченная на идеальном листе Мёбиуса, напоминает фигуру, начерченную чернилами, которые проходят сквозь бумагу, делая контур видимым с двух сторон: она начерчена одновременно с двух "сторон" листа, а не только с одной "стороны", как бы погружена в его поверхность пулевой толщины. Вернувшись в исходное положение после обхода листа Мёбиуса, такая фигура переходит в свое зеркальное отражение. Разумеется, при повторном обходе она вновь принимает свой первоначальный вид. Аналогичным образом астронавт, вернувшись из кругосветного путешествия в пространстве с кручением, оказался бы зеркальным двойником самого себя и, лишь совершив повторное кругосветное путешествие, смог бы "прийти в себя".

Если вас заинтересовали парадоксальные свойства листа Мёбиуса, то вам, возможно, покажутся интересными две другие не менее парадоксальные поверхности - бутылка Клейна и проективная плоскость - и. вы захотите изучить их подробнее. Обе поверхности односторонние, но в отличие от листа Мёбиуса не имеют краев. Бутылка Клейна тесно связана с листом Мёбиуса, так как, разрезав ее пополам, мы можем получить два зеркально-симметричных листа Мёбиуса. Флатландец, обитающий на поверхности бутылки

Клейна или на проективной плоскости, совершив кругосветное путешествие, переходит в свое зеркальное отражение (см. главу 2 моей "Шестой книги математических игр" из журнала Scientific American) [Gardner М. Sixth Booh of Mathematical Games from Scientific American.-San Francisco, 1971.]. Классической книгой о жизни в двумерном пространстве по праву считается "Флатландия" Эббота. Ее продолжение - "Сферландию" - написал Дионис Бюргер [ Флатландия. Сферландия. - M.: Мир, 1976.].

Возможно, вам понравится фантастический рассказ Г. Уэллса "История Платтнера" - о человеке, побывавшем в четвертом измерении и вернувшемся на Землю своим зеркальным двойником - с сердцем, расположенным справа.

Антивещество

Превратившись в своего зеркального двойника, астронавт чувствовал бы себя вполне нормально, но все вокруг казалось бы ему как бы отраженным в зеркале: надписи были бы выполнены зеркальным шрифтом, движение автомашин из правостороннего превратилось бы в левостороннее. ;

Многие физики считают, что зеркальное отражение вещества было бы антивеществом, которое аннигилировало бы при соприкосновении с обычным веществом. Если это действительно так, то наш астронавт не смог бы вернуться на Землю: как только его корабль вошел бы в верхние слои атмосферы, раздался бы взрыв!

Могут ли в нашей Вселенной существовать галактики из антивещества? Может быть, огромные вселенные, состоящие из антивещества, лежат за пределами нашей Вселенной? Современная космология пока не знает ответов на эти вопросы,

У каждой элементарной частицы есть античастица. Она почти неотличима от частицы, за исключением того, что ее электрический заряд (если таковой имеется) и некоторые другие свойства имеют противоположный знак. Многие физики считают, что античастица наделена структурой, зеркально-симметричной структуре частицы. Вещество, состоящее из античастиц, называется антивеществом.

При столкновении частицы с античастицей происходит аннигиляция. Наша Галактика состоит целиком из вещества, поэтому если где-нибудь - в лаборатории или в недрах звезд - рождается античастица, то она существует лишь какую-нибудь микросекунду, после чего аннигилирует при столкновении с частицей.

Большинство специалистов по космологии считают, что Вселенная состоит только из вещества, но некоторые полагают, что отдельные галактики могут состоять из антивещества. Распознать такие галактики трудно, так как свет, идущий от них, был бы неотличим от света, испускаемого обычными галактиками. Высказывалась также гипотеза, что после Большого взрыва, которым, по-видимому, ознаменовалось рождение нашей Вселенной, вещество и антивещество разделились, образовав две Вселенные: "космон" и "антикосмон", которые, отталкиваясь, разлетелись с огромной скоростью.

Представление о Вселенной, разделенной на две зеркально-симметричные части, лежит в основе многих научно-фантастических романов. По поводу антивещества и аналогичных проблем см. брошюру "Элементарные частицы" [ Элементарные частицы. Краткая история некоторых открытий в атомной физике.-М.: Атомиздат, 1963.]; мою книгу "Этот правый, левый мир" [ Этот правый, левый мир.-М.: Мир, 1967.] и книгу известного шведского физика и астрофизика Ханнеса Альфвена "Миры - антимиры" [Alfven H. Worlds - Antiworlds. Antimatter in Cosmology. - San Francisco, 1966.].

Вероятность

Парадоксы о случайном и ставках

Теория вероятностей играет настолько важную роль в современной науке, что ей непременно будет отводиться все большее место в элементарных курсах математики. Многие (начиная еще с Цицерона) видят в теории вероятностей путеводную нить, которая позволяет постичь хаос повседневной жизни. С утра и до вечера мы живем, подсознательно заключая пари о вероятности исхода того или иного события, крупного или незначительного. Если квантовую механику считать последним словом в физике, то в основе всех фундаментальных законов природы лежит случай.

В теории вероятностей чаще, чем в большинстве других областей математики, встречаются результаты, противоречащие интуиции, а против решений иных задач восстает здравый смысл. Представьте себе, например, что вы вызвали лифт. Казалось бы, кабина с равной вероятностью может прийти и снизу, и сверху. Как ни парадоксально, те, кто так считает, заблуждаются. Вы пришли в незнакомую вам семью, где растут четверо детей. Казалось бы, с наибольшей вероятностью можно ожидать, что у счастливых родителей два мальчика и две девочки. Но те, кто так думает, также заблуждаются.

Приводимые ниже простейшие понятия теории вероятностей помогут вам постичь, почему при одновременном бросании 3 игральных костей шансы на выигрыш ниже шансов на проигрыш и почему различные удивительные совпадения в действительности не так уж удивительны (о последних речь пойдет в следующей главе).

Парадоксы для этой главы я отбирал, следя за тем, чтобы их можно было легко понять и промоделировать с помощью таких доступных "подручных средств", как монеты или игральные карты. Каждый из собранных в главе парадоксов решается путем перебора всех возможных исходов даже в тех случаях, когда задача допускает более простое и изящное решение. Избранный мной более громоздкий подход позволяет глубже и основательнее разобраться в существе задачи.

Хотя в конечном счете все сводится к вероятности только одного типа, обычно принято различать вероятности трех основных типов.

1. Классическая, или априорная, вероятность. Все исходы испытания, или опыта, предполагаются равновероятными. Если испытание имеет п равновероятных исходов и нас интересует вероятность наступления k из них, образующих некоторое подмножество, то эта вероятность равна дроби k/n. Например, если вы бросаете игральную кость, изготовленную "честно", из однородного материала, то любая из шести граней выпадает равновероятно. С какой вероятностью выпадает четное число очков? Из 6 равновероятных исходов бросания игральной кости (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков) четное число выпадает в 3 случаях (когда выпадает 2, 4 и 6 очков). Следовательно, вероятность выпадения при одном бросании четного числа очков равна 3/6=1/2. Иначе говоря, при одном бросании шансов за то, что выпадет четное число очков, ровно столько же, сколько за то, что выпадет нечетное число очков. Это честная игра (шансы на выигрыш и проигрыш равны),

2. Частота, или статистическая вероятность. Ее вводят, когда события априори неравновероятны. Лучшее, что можно сделать в таких случаях, - это многократно повторить или пронаблюдать интересующее нас событие и установить частоту различных исходов испытания. Например, если игральная кость каким-то образом утяжелена, но внешне не отличается от однородной, то вы бросаете ее несколько сот раз и по исходам бросаний заключаете, что вероятность выпадения, скажем, 6 очков составляет 7/10 вместо 1/6 для "честной" игральной кости.

3. Индуктивная вероятность. Под индуктивной вероятностью понимают меру правдоподобия, приписываемую ученым какой-нибудь закономерности или теории. Недостаточное знание явлений природы исключает введение классической вероятности, а эксперименты или наблюдения слишком редки и неопределенны для того, чтобы мы могли воспользоваться точными частотными оценками. Приведем пример индуктивной вероятности. Некий ученый, проанализировав все известные данные, пришел к заключению, что черные дыры скорее всего не существуют. Такого рода вероятностные оценки, неточные в силу самой своей природы, непрерывно изменяются по мере появления новых данных, подтверждающих или опровергающих исходную гипотезу.