Мартин Гарднер. А ну-ка, догадайся! (стр. 29 )

Заключительный парадокс о конфликте между детерминизмом и индетерминизмом позволяет читателю бросить беглый взгляд на одну из извечных и наиболее глубоких проблем философии.

"Сумасшедшие" часы Льюиса Кэрролла

Какие часы точнее показывают время: те, которые отстают за сутки на 1 мин, или те, которые совсем не идут?

Льюис Кэрролл рассуждал следующим образом. Кэрролл. Часы, отстающие на 1 минуту в сутки, показывают точное время раз в 2 года. Часы, которые совсем не идут, показывают точное время дважды в сутки. Вы согласны? Алиса задумалась.

Алиса. Я знаю, что остановившиеся часы показывают точное время ровно в 8 часов утра и ровно в 8 часов вечера, но как узнать, когда именно наступает ровно 8 часов утра или ровно 8 часов вечера?

Кэрролл. Очень просто, дитя мое. Встань лицом к циферблату остановившихся часов и возьми в руки заряженный пистолет.

Кэрролл. Не своди глаз со стрелок часов. И в тот момент, когда часы покажут точное время, выстрели из пистолета. Всякий, кто услышит твой выстрел, будет знать, что наступило ровно 8 часов.

Льюис Кэрролл - псевдоним скромного преподавателя математики из колледжа Крайст Черч в Оксфорде Чарлза Лютвиджа Доджсона. Ему принадлежит заметка "Какие часы лучше?" о "сумасшедших" часах [Kэрролл Л. История с узелками.-М.: Мир, 1973, с.387.].

Каким образом Кэрролл определил, как часто часы, отстающие ежесуточно на 1 мин, показывают точное время? Поскольку часы каждые сутки отстают на 1 мин, они покажут точное время, когда отстанут на 12 часов, то есть через 720 суток.

Загадочное колесе

Парадокс Льюиса Кэрролла с часами - не более чем шутка, выдержанная в лучших традициях английского нонсенса. А вот "серьезный" парадокс, заслуживающий самого пристального внимания. Знаете ли вы, что верхняя часть велосипедного колеса движется быстрее, чем нижняя?

Именно поэтому спицы в верхней половине катящегося велосипедного колеса сливаются в сплошной блестящий диск.

Взгляните на два последовательных положения колеса. Точка А вблизи вершины проделала гораздо больший путь, чем точка B вблизи основания. Скорость - это расстояние, проходимое в единицу времени. Следовательно, точка A движется быстрее точки B. Верно?

О каких скоростях идет речь, когда говорят, что верхняя часть катящегося колеса движется быстрее нижней? Разумеется, о скоростях относительно земли. Парадокс легко решается, если рассмотреть кривую, известную под названием "циклоида". Любая точка на ободе колеса, катящегося по прямой, описывает циклоиду. В точке касания колеса с поверхностью земли скорость равна нулю. Оторвавшись от земли при качении колеса, точка на ободе начинает разгоняться и в верхней точке движется с максимальной скоростью. Затем по мере приближения к земле движение точки на ободе замедляется, и в новую точку касания она приходит с нулевой скоростью. На колесах железнодорожных вагонов имеются выступы - реборды. Когда колесо катится по рельсу, точка на ободе реборды, описывая небольшую петлю, расположенную ниже уровня рельса, какое-то время движется назад.

Циклоида обладает множеством красивых математических и механических свойств. Одна из глав моей "Шестой книги математических забав" из журнала Scientific American называется "Циклоида - Елена Прекрасная геометрии". В ней, в частности, рассказывается, как начертить циклоиду с помощью катящейся банки из-под кофе. Построим циклоиду и выведя ее уравнение, вы сможете лучше оценить изящество этой кривой и ее необычные свойства.

Разочарованный лыжник

Лыжник. Какой великолепный день! Вот если бы только скорость подъемника была больше 5 км/ч! Предположим, что лыжник захочет поднять среднюю скорость, развиваемую на подъеме и спуске, до 10 км/ч. С какой скоростью он должен съезжать с горы?

15 км/ч? 60 км/ч? 100 км/ч? Хотя в это трудно поверить, но единственный способ поднять среднюю скорость до 10 км/ч для лыжника состоит в том, чтобы съехать за нулевое время!

Сначала кажется, что решение парадокса как-то связано с расстоянием, проходимым лыжником при подъеме и спуске. Но в действительности оно несущественно. Лыжник преодолевает какое-то расстояние, поднимаясь на гору, и хотел бы спуститься со скоростью, при которой средняя скорость при подъеме и спуске была бы вдвое больше скорости при подъеме. Чтобы развить такую среднюю скорость, лыжнику пришлось бы преодолеть вдвое большее расстояние (туда и обратно), чем он преодолел при подъеме, за то же время, которое он затратил на подъем. Следовательно, на спуск у нашего лыжника просто нет времени; он должен был бы преодолеть склон за нулевое время! Поскольку это невозможно, лыжник никаким способом не может поднять свою среднюю скорость с 5 до 10 км/ч, в чем вы без труда можете убедиться с помощью несложных вычислений.

Парадоксы Зенона

Древние греки придумали множество парадоксов о времени и о движении. Парадокс Зенона о бегуне ("стадий") принадлежит к числу наиболее известных.

Бегун в парадоксе Зенона рассуждал следующим образом. Бегун. Прежде чем я добегу до финиша, мне необходимо пробежать половину дистанции, затем половину оставшейся половины, то есть 3/4 всей дистанции.

Бегун. Прежде чем я преодолею последнюю четверть дистанции, мне необходимо пробежать ее половину. И так всякий раз! Прежде чем преодолеть какое-то расстояние, мне необходимо пробежать половину его. Этим половинам не будет конца! Я никогда не доберусь до финиша!

Предположим, что на преодоление половины каждого расстояния бегун затрачивает 1 мин. На графике зависимости времени от пути видно, что бегун приближается к финишу, но так и не достигает его. Правильны ли рассуждения бегуна?

Нет, неправильны: бегун не затрачивает по 1 мин на преодоление половины каждого отрезка. Каждую половину очередного отрезка он пробегает за вдвое меньшее время, чем половину предыдущего отрезка. Бегун достигнет финиша через 2 мин после старта, хотя ему придется за эти 2 мин преодолеть бесконечно много половин соответствующих отрезков дистанции.

Зенону принадлежит и другой, не менее знаменитый парадокс об Ахилле и черепахе. Быстроногий Ахилл хочет поймать черепаху, которая находится на расстоянии 1 км от него.

К тому времени, когда Ахилл добегает до того места, где первоначально находилась черепаха, та успевает уползти вперед на 10 м.

За то время, которое требуется Ахиллу, чтобы пробежать эти 10 м, черепаха снова успевает уползти на какое-то расстояние. Черепаха. Где тебе догнать меня, старина! Каждый раз, когда ты добежишь до того места, где я была, я успею уползти на какое-то расстояние вперед, хоть на толщину волоса!

Зенон, разумеется, знал, что Ахилл мог бы поймать черепаху. Свои парадоксы Зенон придумал для того, чтобы показать, к каким парадоксальным следствиям приводит представление о неделимых - "атомах" - пространства и времени, имеющих сколь угодно малые, по конечные размеры.

В обоих парадоксах Зенона бегунов следует считать точками, движущимися с постоянной скоростью вдоль прямой. Зенон знал, что если отрезок AB имеет конечную длину, то точка, движущаяся из A в B с конечной скоростью, достигает финиша за конечное время. Свои парадоксы Зенон придумал для того, чтобы продемонстрировать, к каким трудностям приводят атомистические представления о структуре пространства и времени, согласно которым отрезок "рассыпается" на отдельные неделимые элементарные отрезки, нанизанные один за другим, наподобие бусин, а время - на отдельные неделимые промежутки (и элементарным отрезкам, и элементарным промежуткам времени атомисты приписывали конечную протяженность) .