Мартин Гарднер. А ну-ка, догадайся! (стр. 16 )

лестницу придумали английский генетик Пенроуз и его сын математик Роджер Пенроуз, который впервые опубликовал ее в 1958г. Ее нередко называют лестницей Пенроуза. Она поразила воображение голландского художника , который использовал ее в одной из своих литографий "Подъем и спуск".

Автор x-зубца с двумя или тремя зубьями неизвестен. Этот невозможный объект встречается примерно с 1964г. На обложке мартовского номера журнала Mad за 1965г. изображен Нейман, балансирующий таким x-зубцом на указательном пальце.

Автор сумасшедшей клети также неизвестен. Она изображена на рисунке Мориса Эшера "Бельведер". И невозможная лестница, и невозможный предмет с двумя или тремя зубьями, и сумасшедшая клеть показывают, как легко мы "попадаемся на удочку", считая изображенный на рисунке объект подлинным, хотя в действительности он логически противоречив и, следовательно, не может существовать. Невозможные объекты - своего рода визуальные аналоги таких неразрешимых утверждений, как "Это утверждение ложно", о которых говорилось в главе 1.

Другие примеры невозможных объектов приведены в главе, посвященной оптическим иллюзиям, моей книги "Математический цирк" и в книгах японского художника-графика Митсумасы Анно "Алфавит Анно" и "Неповторимый мир Анно".

Патологическая кривая

Эта извилистая ломаная, напоминающая по форме контур снежинки, не принадлежит к числу невозможных объектов, хотя и парадоксальна. Ее построение мы начнем с контура этой новогодней елки - равностороннего треугольника.

Разделив каждую сторону на 3 равные части, построим на каждой средней части равносторонний треугольник, лежащий снаружи от большого треугольника.

С каждым из меньших треугольников проделаем ту же операцию: разделим их стороны на 3 равные части и на средних частях построим равносторонние треугольники. Длина ломаной при этом еще больше возрастет, а сама ломаная станет похожа на шестиугольную снежинку.

С каждым разом ломаная будет становиться все длиннее и красивее.

Продолжая построение, мы можем сделать ломаную сколь угодно длинной. Она может умещаться на почтовой марке и все же быть длиннее, чем расстояние от Земли до самой далекой звезды!

Кривая-снежинка - один из красивейших представителей бесконечного множества кривых, названных патологическими из-за своих парадоксальных свойств. При неограниченном увеличении числа звеньев длина ломаных в пределе стремится к бесконечности, хотя площадь заключенного внутри ломаных участка плоскости остается конечной. Иначе говоря, если после очередного увеличения числа звеньев ломаной мы станем измерять ее длину и площадь ограничиваемого ею многоугольника, то последовательность длин окажется расходящейся, а последовательность площадей - сходящейся к пределу, равному 8/5 от площади исходного равностороннего треугольника. К предельной кривой ни в одной точке невозможно провести касательную.

Кривая-снежинка - великолепный повод для того, чтобы освежить в вашей памяти все связанное с понятием предела. Можете ли вы доказать, что если площадь исходного равностороннего треугольника принять за единицу, то площадь части плоскости, заключенной внутри предельной кривой, равна 8/5?

Вот несколько задач на построение, тесно связанных с кривой-снежинкой.

1. Постройте кривую-антиснежинку: вычерчивая равносторонние треугольники, пристраивайте их не снаружи, а изнутри, после чего стирайте их основания. На первом этапе вы получите 3 ромба, соединенные в центре наподобие пропеллера. Имеет ли возникающая в пределе кривая-антиснежинка бесконечную длину? Конечна ли площадь ограничиваемой ею части плоскости?

2. Что произойдет, если за исходную фигуру принять не равносторонний треугольник, а какой-нибудь другой правильный многоугольник?

3. Что произойдет, если на каждой стороне строить по нескольку многоугольников?

4. Существуют ли трехмерные аналоги кривой-снежинки и ее ближайших сородичей? Например, если на гранях тетраэдров строить тетраэдры, будет ли предельное тело иметь поверхность бесконечной площади? Будет ли его объем конечным?

В статье о патологических кривых, опубликованной в декабрьском номере журнала Scientific American за 1976г., я рассказал о парадоксальной кривой, открытой Уильямом Госпером и названной "кривой дракона". Другая замечательная кривая, открытая Бенуа Мандельбротом, украшает обложку апрельского номера того же журнала за 1978г. Ей посвящена моя статья, опубликованная в этом номере журнала. О других патологических кривых, тесно связанных с кривой-снежинкой, рассказывается и в книге Мандельброта "Фрактальная геометрия природы".

Неизведанная Вселенная

Если космический корабль полетит все время прямо, никуда не сворачивая, то будет ли он все более удаляться от Земли? "Не обязательно, - решил Эйнштейн. - Корабль может вернуться, даже если он все время будет лететь прямо".

Чтобы понять парадокс Эйнштейна, начнем с несчастного пойнтландца. Вся его вселенная - это одна-единственная точка, имеющая нуль измерений.

Обитающий на одномерной линии лайнландец подобен червяку, ползущему по канату: если канат бесконечен, то он может путешествовать сколь угодно далеко как в одну, так и в другую сторону.

Но если канат замкнут наподобие окружности, то вселенная нашего лайнландца неограниченна, хотя и имеет конечную длину. В какую бы сторону ни полз червяк, он непременно вернется в исходную точку.

Флатландец обитает на двумерной поверхности. Если его вселенная - бесконечная плоскость, то он может путешествовать на любые расстояния в любом направлении.

Но если поверхность, на которой он обитает, замкнута наподобие сферы, то она также неограниченна и конечна. В какую бы сторону ни отправился флатландец, двигаясь все время прямо и никуда не сворачивая, он непременно вернется туда, откуда начал свой путь.

Мы с вами "солидландцы", обитающие в трехмерном мире. Возможно, наш мир простирается бесконечно далеко в каждом из направлений.

Но, может быть, наша Вселенная изогнута в пространстве большего числа измерений и потому неограниченна и конечна? В такой Вселенной, как и полагал Эйнштейн, космический корабль, все время летящий прямо, мог бы вернуться к месту старта,

Когда флатландец совершает кругосветное путешествие по сфере, он как бы движется по полоске, склеенной в кольцо без перекручивания.

Но если флатландец путешествует по листу Мёбиуса, то происходит нечто странное. Полоборота, на которые перекручено полотно листа, как бы переворачивают флатландца на другую сторону: вернувшись в исходную точку, он обнаруживает у себя сердце не слева, а справа!

Если наше пространство перекручено наподобие листа Мёбиуса, то вернувшийся на Землю астронавт может оказаться собственным зеркальным отражением.

Астрономы пока не пришли к единому мнению относительно того, замкнута ли наша Вселенная, как полагал Эйнштейн, или открыта. Ответ на этот вопрос зависит от того, какова масса Вселенной. Согласно общей теории относительности, масса приводит к искривлению пространства - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Большинство специалистов по современной космологии считают, что массы Вселенной недостаточно для столь сильного искривления пространства, которое привело бы к его замыканию. Но вопрос пока остается открытым, поскольку ни природа-вещества, ни распределение его плотности во Вселенной не известны. Не исключено, что во Вселенной имеется "скрытая масса", вполне достаточная для замыкания пространства. (Например, подозревают, что нейтрино обладают положительной массой покоя, в то время как раньше их масса покоя считалась равной нулю.)