Мартин Гарднер. А ну-ка, догадайся! (стр. 11 )

Управляющий гостиницей "Бесконечность" сначала показал, что множество всех натуральных чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с одним из его собственных подмножеств, вычеркивая из исходного множества один или пять элементов. Тот же прием позволяет устанавливать взаимнооднозначное соответствие между бесконечным множеством и его собственным подмножеством, получаемым при вычеркивании любого конечного числа элементов.

Вычеркиванию элементов можно придать несколько более драматический характер. Представим себе, что на столе перед нами лежат шкала к шкале две бесконечные линейки с равномерными сантиметровыми делениями. Нулевые отметки на обеих шкалах совмещены и находятся в центре стола. Деления с отметками простираются неограниченно далеко вправо, причем между отметками существует взаимно-однозначное соответствие: 0 - 0, 1 - 1, 2 - 2 и т. д. Сдвинем теперь одну из линеек на n см вправо, После этой операции деления сдвинутой линейки по-прежнему будут находиться во взаимно-однозначном соответствии с делениями неподвижной линейки: если линейка была сдвинута, например, на 3 см, то между делениями установится взаимно-однозначное соответствие 0 - 3, 1 - 4, 2 - 5, … Выступающий влево отрезок нижней линейки длиной n см соответствует величине сдвига, но та часть шкалы неподвижной линейки, которая совпадает со шкалой сдвинутой линейки, имеет бесконечную длину. Поскольку величине сдвига n можно придавать любые значения, мы можем вычеркивать из бесконечного множества любое конечное число n элементов и получать бесконечное множество, содержащее столько же элементов, сколько их было в исходном множестве.

Своим последним маневром управляющий гостиницей освободил бесконечное множество комнат. Это означает, что, вычитая из бесконечности бесконечность, можно получить снова бесконечность. Действительно, множество всех натуральных чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством всех четных чисел. Если из всех натуральных чисел вычеркнуть четные, то останется бесконечное множество нечетных чисел.

Лестница алефов

Гостиница "Бесконечность" - лишь один из многих парадоксов, связанных с бесконечностью. Существует много различных бесконечностей! Множество натуральных чисел - самая "бедная" из бесконечностей, занимающая низшую ступень бесконечной иерархии. Вторая ступень соответствует бесконечности множества точек во Вселенной, а третья ступень - еще большей бесконечности!

Немецкий математик Георг Кантор, открывший лестницу бесконечностей, ввел для каждой ступени специальные обозначения: алеф-нуль, алеф-один, алеф-два и т. д.

Кардинальное число множества - это число элементов в нем. Например, кардинальное число множества букв слова "КОТ" равно 3. Любое конечное множество имеет конечное кардинальное число. Георг Кантор открыл, что одни бесконечные множества могут быть "больше" других. Кардинальные числа бесконечных множеств он обозначил первой буквой древнееврейского алфавита, которая называется "алеф". Индекс у алефа указывает порядковый номер ступени в иерархии бесконечностей.

Кардинальное число множества всех натуральных чисел (так называемого счетного множества) Кантор обозначил алеф 0 (алеф-нуль). Множество всех четных чисел, так же как и множество всех нечетных чисел, имеет кардинальное число алеф 0. Следовательно, алеф 0 + алеф 0 = алеф 0. Парадокс с гостиницей "Бесконечность" показывает, что в некотором смысле справедливо и равенство алеф 0 – алеф 0 = алеф 0. Как необычна арифметика кардинальных чисел!

Бесконечное множество всех действительных чисел больше, чем множество целых чисел. Кантор считал, что оно имеет кардинальное число алеф 1 (алеф-один) - первое трансфинитное число, которое больше чем алеф 0. С помощью своего знаменитого "диагонального процесса" Кантор доказал, что множество всех действительных чисел невозможно поставить во взаимнооднозначное соответствие с множеством целых чисел. Кроме того, Кантор установил взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством точек на любом отрезке прямой, на всей бесконечной прямой, множеством точек квадрата, плоскости, неограниченно простирающейся во все стороны, куба, бесконечного пространства, а также гиперкубов и пространств более высокой размерности.

Кантор доказал также, что кардинальное число 2 алеф больше, чем алеф, то есть между множествами с кардинальными числами 2 алеф и алеф невозможно установить взаимно-однозначное соответствие. Следовательно, лестница алефов продолжается вверх нескончаемо.

Математики говорят, что множество действительных чисел обладает "мощностью континуума", и обозначают его кардинальное число c. Кантор пытался доказать, что c = алеф 1, но это ему так и не удалось. Через много десятилетий работами Курта Гёделя и Пола Коэна было установлено, что аксиомы обычной теории множеств не позволяют решить вопрос, интересовавший Кантора. Современная теория множеств делится на канторовскую и неканторовскую. Канторовская теория множеств предполагает, что c = алеф 1. Неканторовская теория множеств считает, что между c и алеф 1 заключено бесконечно много трансфинитных чисел.

Знаменитая "гипотеза континуума" (как стали называть предположение Кантора) была решена сравнительно недавно, когда Коэн и другие математики доказали, что она неразрешима. Аналогичная ситуация возникла в геометрии после того, как было доказано, что постулат Евклида о параллельных нельзя вывести из других аксиом евклидовой геометрии. Этот постулат можно заменить другими, и в зависимости от того, какой постулат будет принят, геометрия делится на евклидову и неевклидову.

Геометрия

Парадоксы о плоскости, пространстве и невозможных формах

Большинство людей понимает под геометрией евклидову геометрию на плоскости, то есть изучение свойств жестких плоских фигур. В этой главе мы будем понимать геометрию в более широком смысле - так, как ее определил более века назад Феликс Клейн. Геометрия, по Клейну, занимается изучением свойств фигур в пространстве любого числа измерений, остающихся неизменными, или инвариантными, относительно любой заданной группы преобразований. Предложенная Клейном концепция геометрии оказалась наиболее плодотворной для унификации понятий в современной математике. В евклидовой планиметрии и стереометрии допустимые преобразования состоят из трансляций (перемещений с одного места на другое), зеркальных отражений, поворотов и сжатий или растяжений. Более глубокие преобразования приводят к аффинной геометрии, проективной геометрии, топологии и, наконец, теории множеств, в которой фигуру разрешается "рассыпать" на отдельные точки, с тем чтобы составить из них новую фигуру.

Швейцарский психолог Жан Пиаже считает, что дети постигают геометрические свойства в обратном порядке. Например, малышу легче понять различие между кучкой красных и кучкой синих шариков (теория множеств) или между замкнутой в кольцо и разомкнутой резиновой лентой (топология), чем отличить пятиугольник от шестиугольника (евклидова геометрия).

Топология - довольно необычный раздел геометрии, изучающая свойства фигур, инвариантные относительно непрерывных деформаций. Представьте себе, что фигура или тело изготовлены из резины. Вы можете как угодно изгибать, растягивать и сжимать ее. Запрещается только отрывать часта и приклеивать их. Например, лист Мёбиуса обладает таким топологическим свойством, как односторонность: если представить его сделанным из резины, то как бы вы ни изгибали и ни растягивали его, он все равно останется односторонним. Многие собранные в этой главе парадоксы связаны с топологическими свойствами.

Преобразованиям отражения, переводящим асимметричные фигуры, например прописную букву Л, в их зеркальные отражения, мы уделяем внимание не только потому, что с отражениями связано много парадоксов, но и потому, что они играют важную роль в современной геометрии и естественных науках. Зеркальная симметрия играет фундаментальную роль в химии, особенно органической, в которой большинство соединений существует в двух формах (левой и правой), в кристаллографии, биологии (в частности, в генетике) и в физике элементарных частиц.

Хотя некоторые из собранных в этой главе парадоксов могут показаться забавными безделушками, каждый из них, как вы вскоре убедитесь, довольно быстро и незаметно приводит к таким важным разделам математики, как теория групп, математическая логика, теория бесконечных последовательностей, рядов и пределов. Те, кто изучает геометрию, обычно уделяют так много внимания построениям с помощью циркуля и линейки и доказательству сложных теорем, что совершенно упускают из виду связи, существующие между геометрией и другими областями математики, не говоря уже о нескончаемых и прекрасных приложениях, которые геометрия находит в астрономии, физике и других науках.

Вокруг да около

Марвин. Ау, Миртль! Это ты прячешься за дерево?

Марвин пускается в путь вокруг дерева. Миртль, потихоньку переступая, прячется от Марвина за стволом и также обходит вокруг дерева.

Описав полный круг, Марвин и Миртль возвращаются на исходные места. Обошел ли Марвин вокруг Миртль? Марвин. Ну конечно, обошел! Раз я обошел вокруг дерева, то обошел и вокруг Миртль, которая пряталась за ним. Миртль. Ничего подобного! Если бы никакого дерева не было, Марвин все равно не увидел бы моей спины. А разве можно обойти вокруг кого-нибудь, не увидев его со всех сторон?

Этот старинный парадокс многие знают как историю о белке и охотнике. Белка сидит на дереве. Охотник, пытаясь подкрасться к ней сзади, обходит вокруг дерева, но зверек, не спуская глаз с охотника, прячется за стволом и постепенно описывает полный круг. Обойдет ли охотник вокруг белки после того, как он обойдет вокруг дерева?