Автоматизация физических экспериментов на тритиевых комплексах исследовательских установок «Тритон», «Акулина» и «Прометей» (стр. 7 )

(

8

)

В качестве весов берутся обратные величины дисперсии измерений в i-й точке или единичные веса , если дисперсии неизвестны. Библиотека МНК доступна как набор функций CRW API на языке Object Pascal, а также в виде готовых инструментов с графическим интерфейсом.

В библиотеке МНК реализовано 8 алгоритмов [66]: симплексный метод Нелдера-Мида (Nelder-Mead), метод сопряженных градиентов Флетчера-Ривза (Fletcher-Reeves), квази-Ньютоновские методы Давидона, Давидона-Флетчера-Пауэлла (Davidon, Fletcher, Powell), Бройдена (Broyden), Пирсона (Pearson), Заутендайка (Zoutendijk), Стюарта (Steward). Алгоритмы Нелдера-Мида и Стюарта не требуют вычисления аналитического градиента, что на практике является достоинством, но работают надежно лишь при небольшой размерности (≤ 5 параметров). Другие методы требуют вычисления градиента целевой функции и обладают квадратичной сходимостью, т. е. требуют конечного числа итераций, если целевая функция является квадратичной формой. На практике наиболее устойчивыми из них оказались методы Давидона-Флетчера-Пауэлла и Бройдена.

При правильном выборе модели МНК дает высокую точность оценки, но имеет ряд практических недостатков. Он требует знания модельной функции для подгонки (что часто недостижимо), использует для расчетов весь массив данных, на практике ограниченный причинно (4) и исторически (5), не имеет (в общем случае) предсказуемого времени расчета, не всегда дает однозначный результат (если есть несколько локальных минимумов), не является надежными (нет гарантии сходимости). Поэтому в общем случае параметрические методы и МНК полезны для offline анализа, но менее пригодны для online задач управления.

Методы непараметрического сглаживания пытаются подавить шум, используя лишь качественную априорную информацию о поведении сигнала (непрерывность, монотонность и т. д.) и не требуют знания конкретной параметрической функции, что на практике является достоинством. Их можно разделить на локальные и нелокальные методы; линейные и нелинейные методы; методы для случайной и регулярной сетки [61,62,63,64].

Локальные («оконные») методы используют для оценки не всю выборку , а только окрестность («окно») вблизи точки . Так, в качестве окрестности можно взять выборку из точек, попадающих в локальную - окрестность точки x

(

9

)

Другой вариант выбора окрестности x дает алгоритм k ближайших соседей. Этот метод делает выборку , содержащую ближайших к точке x узлов . Заметим, что различие методов проявляется только при нерегулярной сетке . В случае ширина окна постоянна, а число точек выборки зависит от плотности узлов в окрестности точки . В случае наоборот число точек выборки постоянно, а ширина окна меняется. Используя для расчета небольшую часть данных, локальные методы в общем случае имеют более низкую точность, чем нелокальные, однако они хорошо приспособлены для задач online обработки в реальном времени, т. к. работают существенно быстрее нелокальных и имеют предсказуемое время расчета. Поскольку данные обычно упорядочены по времени (7), это позволяет даже при случайной сетке (6) делать выборку быстрыми алгоритмами двоичного поиска [65]. Кроме того, причинные (4) и исторические (5) ограничения на выборку не служат помехой для локальных методов. Поэтому локальные непараметрические методы [64] являются основным инструментом сглаживания в системах управления [59]. Например, к ним относятся цифровые и медианные фильтры, методы локального усреднения.

Нелокальные методы используют для оценки весь массив данных . Например, это Фурье и wavelet анализ, сглаживание сплайнами [61,62]. Эти методы полезны для offline анализа, но для online обработки менее пригодны из-за относительно длительных расчетов, а также причинных (4) и исторических (5) ограничений на выборку, доступную в момент измерений.

Линейные методы отличаются тем, что оценка линейно зависит от измеренных данных . Они хорошо изучены теоретически, дают однозначный и надежный результат, предсказуемое время расчета, поэтому могут использоваться как для offline анализа, так и для online обработки в реальном времени. К ним относятся, например, цифровые фильтры и локальное усреднение.

Нелинейные методы отличаются тем, что оценка нелинейно зависит от измеренных данных . Они меньше изучены теоретически и носят чаще всего эмпирический характер. Примером локального нелинейного метода является медианный фильтр, используемый для подавления локальных «выбросов».

Рис.10. Диалог сглаживающего сплайна.

В пакете CRW-DAQ реализованы сглаживающие сплайны [61,62]. Это однозначный, надежный, линейный, нелокальный метод, имеющий предсказуемое время расчетов, может работать на случайной сетке . Он доступен как набор функций CRW API на языке Object Pascal, а также как готовый инструмент с графическим интерфейсом для диалогового выбора параметра гладкости (Рис.10). Сплайны чаще применяют в offline анализе, а не в задачах АСКУ, поскольку метод нелокальный. Исключением являются калибровки, так как стандартные таблицы калибровок (Таблица 3) в пакете интерполируются сплайнами.

Сглаживающий кубический сплайн ищет оценку в виде функции , которая на каждом отрезке , представляет полином 3 степени

(

10

)

и которая дважды непрерывно дифференцируема на интервале , то есть принадлежит классу функций , и при этом минимизирует функционал:

(

11

)

где - дисперсии в i-й точке. Если они неизвестны, полагается . Обычно также накладываются граничные условия 2 рода:

(

12

)

Функционал (11) содержит две части. Первая (интеграл квадрата второй производной) связана с априорной информацией о сигнале и налагает «штраф» за нарушение гладкости. Вторая (взвешенная сумма квадратов невязок) связана с апостериорной информацией и «штрафует» за отклонение от экспериментальных данных. Параметр выражает компромисс между априорной и апостериорной информацией о сигнале. При значении сплайн превращается в интерполяционный, а при вырождается в константу. Минимизация функционала ведет к 5-диагональной системе линейных уравнений для искомых коэффициентов сплайна, решение которой ищется методом прогонки [61,62].