Цифровые устройства (стр. 2 )

Функции и – логические константы. Функция – константа нуль (функция нуль). Технически реализуется генератором нуля (рис. 1.1, а).

Функция – константа единица (функция единица). Технически реализуется генератором единицы (рис. 1.2, б).

а б

Рис. 1.2. Условное обозначение генераторов логических констант

Будем продолжать рассматривать функции в табл. 1.3 по парам, т. к. по отношению к любой функции вторая функция в паре является инверсной.

Функция – конъюнкция, логическое умножение, функция И :

.

Технически реализуется логическим элементом И, как показано на рис. 1.3, а.

Функция – функция Шеффера, функция И-НЕ :

.

Технически реализуется логическим элементом Шеффера, элементом И-НЕ, (рис. 1. 3, б)

а б

в г

Рис. 1. 3. Условное обозначение логических элементов И и И-НЕ

Функции И и И-НЕ могут быть, как и соответствующие им логические элементы, с произвольным числом переменных (входов) (рис. 1.3, в, г)

Функция – запрет 1-го аргумента :

.

Технически реализуется элементом запрета (рис. 1. 4, а).

Функция – импликация от 1-го аргумента ко второму :

.

Технически реализуется импликатором (рис. 1. 4, б).

а б

Рис. 1.4. Условное обозначение :

а – элемента запрета; б – импликатора

Функция – повторение первого аргумента (функция ДА),

.

Технически реализуется повторителем (рис. 1. 5, а).

Функция – отрицание первого аргумента (функция НЕ) :

.

Технически реализуется инвертором (рис. 1. 5, б).

а б

Рис. 1.5. Условные обозначения повторителя и инвертора

Функция – запрет 2-го аргумента :

.

Функция – импликация от 2-го аргумента к 1-му :

.

Функция – повторение 2-го аргумента :

= = .

Функция – отрицание второго аргумента :

= = .

Функция – неравнозначность, ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ :

.

Технически реализуется логическим элементом «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» (рис. 1. 6, a).

Функция – равнозначность, эквивалентность, «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ-НЕ»:

Технически реализуется элементом равнозначность, «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ–НЕ» (рис.1.6, б).

Функции неравнозначность и равнозначность могут быть, как и соответствующие им логические элементы, с произвольным числом переменных (входов(рис.1.6, в г). Функция неравнозначность равна 1, если число аргументов, равных 1, нечетно.

а б

в г

Рис. 1.6. Логические элементы, реализующие функции неравнозначность и равнозначность

Функция – дизъюнкция, функция ИЛИ :

.

Технически реализуется элементом ИЛИ (рис.1. 7, а).

Функция – функция Пирса или функция Вебба (функция ИЛИ-НЕ) :

.

Технически реализуется элементом Пирса или Вебба (элемент ИЛИ-НЕ)

(рис.1. 7, б).

а б

в г

Рис.1.7. Логические элементы ИЛИ и ИЛИ-НЕ

Функции ИЛИ и ИЛИ-НЕ могут быть, как и соответствующее им логические элементы, с произвольным числом переменных (входов) (рис. 1. 7, в, г).

Значение функций двух переменных в общей теории логических функций состоит в том, что с их помощью может быть представлена любая сколько угодно сложная ФАЛ. Средством для такого представления является суперпозиция булевых функций или подстановка одних логических функций вместо аргументов в другие функции. Возможность такой подстановки обусловливается тем, что в силу определения области значений функций и их аргументов совпадают.

Для выражения сложных логических функций достаточно использовать не все элементарные функции, а только их некоторую часть, называемую базисом или системой.

Система элементарных функций называется функционально полной, если любую функцию алгебры логики можно записать в виде формулы через функции .

Минимальным базисом называется такая функционально полная система– , для которой удаление любой одной из входящих в нее функций превращает эту систему в функционально не полную.

Примерами полных систем являются:

1., , .