Лабораторный практикум по дисциплине Численные методы (стр. 3 )

Порядок выполнения работы:

1.  проанализировать уравнение, определить его тип и выбрать способ построения графика;

2.  выяснить область определения функций, входящих в уравнение;

3.  определить максимально возможное число корней уравнения;

4.  построить график(и) функции(й), используя процессор электронных таблиц MS Excel:

- создать таблицу вида

x	g(x)	h(x)

- значения x внести с помощью команды ЗАПОЛНИТЬ→ПРОГРЕССИЯ (арифметическая)

- вычислить значения функции(й) (ячейки в которых находятся вычисленные значения функций отформатировать таким образом. чтобы число десятичных знаков после запятой совпадало по порядку величины с шагом арифметической прогрессии)

- с помощью команды ВСТАВКА→ДИАГРАММА→ГРАФИК построить график функции;

5.  по графику функции определить приближенные корни уравнения;

6.  осуществить проверку найденного решения;

7.  перечертить эскиз графика в тетрадь.

Контрольные вопросы:

1.  Запишите общий вид уравнения с одной переменной.

2.  Почему уравнение, записанное в виде всегда можно представить как равенство двух функций ? Приведите примеры.

3.  Что понимают под термином «корень уравнения»?

4.  Алгебраические уравнения. Примеры.

5.  Трансцендентные уравнения. Примеры.

6.  Запишите общий вид любого алгебраического уравнения.

7.  Сформулируйте основные свойства алгебраических уравнений любой степени.

8.  Что означает «решить уравнение с одной переменной»?

9.  Перечислить и охарактеризовать этапы численного решения алгебраического/трансцендентного уравнения с одной переменной.

10.  Этапы решения уравнения графическим методом.

11.  Каким образом по графику функции определить корень уравнения?

12.  Достоинства и недостатки графического метода решения уравнений с одной переменной.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

Тема: Приближенное решение алгебраического/трансцендентного уравнения различными методами.

Цель: научиться применять методы локализации и уточнения корня для решения алгебраических и трансцендентных уравнений с учетом условий применимости указанных методов.

Содержание работы по вариантам:

№ варианта	Содержание задания	Метод решения
1		Решить уравнение методом простой итерации с точностью ,
2		Решить уравнение методом касательных с точностью ,
3		Решить уравнение методом половинного деления с точностью ,
4		Решить уравнение методом простой итерации с точностью ,
5		Решить уравнение методом половинного деления с точностью ,
6		Решить уравнение методом простой итерации с точностью ,
7		Решить уравнение методом касательных с точностью ,
8		Решить уравнение методом половинного деления с точностью ,
9		Решить уравнение методом простой итерации с точностью ,
10		Решить уравнение методом касательных с точностью ,

Порядок выполнения работы:

1.  проанализировать уравнение, определить его тип;

2.  выяснить область определения функций, входящих в уравнение;

3.  определить максимально возможное число корней уравнения;

4.  указать приближенное значение корня на отрезке локализации, найденное графическим методом;

5.  проверить условие применимости требуемого метода, если это необходимо;

6.  решить уравнение указанным методом;

7.  осуществить проверку найденного решения.

Контрольные вопросы:

1.  Уравнение, корень уравнения, алгебраические и трансцендентные уравнения. Примеры алгебраических и трансцендентных уравнений.

2.  Сформулируйте теоремы о свойствах непрерывных функций, проиллюстрируйте их с помощью графиков.

3.  Методы уточнения корня.

4.  Метод половинного деления.

5.  Достоинства и недостатки метода половинного деления.

6.  Метод касательных (метод Ньютона).

7.  Перечислите требования, которым должна удовлетворять функция для решения уравнения методом касательных.

8.  Типы расположения дуги кривой функции , удовлетворяющей требованиям метода касательных.

9.  Геометрическая иллюстрация метода касательных.

10.  Вывод формулы для метода касательных.

11.  Каким образом выбирается начальное приближение при решении уравнения методом касательных.

12.  Сформулируйте условие сходимости метода Ньютона.

13.  Запишите условие прекращения итерационного процесса по методу Ньютона.

14.  Метод последовательных приближений (метод простой итерации).

15.  Условия применимости метода простой итерации.

16.  Геометрическая иллюстрация метода последовательных приближений для решения уравнения с одной переменной.

17.  Связь метода Ньютона с методом простой итерации.

18.  Вычисление корня любой степени методом простой итерации.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

Тема: Математическая обработка результатов опытов. Составление эмпирических формул методом наименьших квадратов.

Цель: научиться составлять эмпирические формулы методом наименьших квадратов.

Задание: Составить эмпирическую формулу методом наименьших квадратов, используя подходящее приближение (линейное, квадратичное, в виде показательной функции, в виде степенной функции).

Содержание работы по вариантам:

№ варианта	Содержание задания
1	Влияние температуры на ход хронометра : t, °C -20 -15,4 -9 -5,4 -0,6 +4,8 +9,4 2,6 2,01 1,34 1,08 0,94 1,06 1,25
2	Зависимость между величинами и выражена таблицей: x 0 3 5 8 10 14 17 20 22 24 y 1,02 2,5 3,92 5,16 6,82 8,36 10,74 11,82 13,64 12,96
3	Зависимость напряжения конденсатора от времени : t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5
4	Зависимость между давлением и удельным объемом выражается формулой . Результаты измерений даны в таблице: 0,50 0,64 0,66 0,76 0,87 1,03 1,19 1,40 1,65 3,69 3,20 2,76 2,37 2,03 1,73 1,43 1,23 1,03
5	Зависимость между величинами и выражена таблицей: 1,00 1,50 2,50 3,00 4,50 5,10 6,20 67 101 168 202 301 334 404
6	Зависимость между величинами и выражена таблицей: -0,50 -0,30 -0,10 0,20 0,60 0,80 1,00 3,20 2,60 2,10 1,90 2,50 3,10 4,00
7	Зависимость между величинами и выражена таблицей: 2,00 3,00 5,00 7,00 9,00 11,00 5,60 5,00 4,00 3,20 2,50 2,00
8	Зависимость между величинами и выражена таблицей: 0,0 1,0 2,0 4,0 6,0 7,0 9,0 10,0 6,0 7,4 9,3 11,9 15,2 16,6 19,4 21,1
9	Зависимость между величинами и выражена таблицей: 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 2,0 2,5 2,8 4,3 6,0 7,9 10,0 Найти приближающую функцию в виде многочлена второй степени
10	Зависимость между величинами и выражена таблицей: 1,1 1,7 2,4 3,0 3,7 4,5 5,1 5,8 0,3 0,6 1,1 1,7 2,3 3,0 3,8 4,6

Порядок выполнения работы: