Лабораторный практикум по дисциплине Численные методы (стр. 5 )

1.  по данным задания составить таблицу (если это необходимо);

2.  вычислить конечные (табличные) разности (для интерполяционного многочлена в форме Ньютона);

3.  в соответствие с заданием записать выражение для приближающей функции (в виде целой рациональной функции/в форме Лагранжа/в форме Ньютона);

4.  произвести необходимые вычисления;

5.  записать полученный интерполяционный многочлен;

6.  вычислить с помощью найденного интерполяционного многочлена значения функции в точках ;

7.  построить по точкам график (если это необходимо).

Контрольные вопросы:

1.  Понятие «интерполирование», «приближающая функция», «узлы интерполяции».

2.  Какое требование накладывается на приближающую функцию.

3.  В чем заключается прямая задача интерполирования.

4.  В чем заключается обратная задача интерполирования.

5.  Проиллюстрируйте с помощью графика прямую и обратную задачи интерполирования.

6.  Каким образом решается задача нахождения приближающей функции в виде многочлена (целой рациональной функции).

7.  Как применяется интерполирование для отыскания значений функции по таблице.

8.  Когда узлы интерполяции считаются «равноотстоящими».

9.  Линейная интерполяция.

10.  Квадратичная интерполяция.

11.  Каким образом решается задача нахождения приближающей функции в виде интерполяционной формулы Лагранжа.

12.  Конечные (табличные) разности (первого, второго порядков). Таблица конечных разностей.

13.  Каким образом решается задача нахождения приближающей функции в виде интерполяционной формулы Ньютона.

14.  Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона.

15.  В каком случае применяется первая/вторая интерполяционные формулы Ньютона.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

Тема: Численное интегрирование. Приближенное вычисление геометрических величин.

Цель: научиться применять формулы приближенного вычисления интегралов (формулу трапеций и формулу Симпсона) для решения задач численного интегрирования, вычисления площади плоской фигуры, объема тел; оценивать точность приближенного вычисления интегралов

Содержание работы по вариантам:

№ вариа-нта	Содержание задания	Пояснения
1	Вычислить площадь зеркала водоема по данным чертежа (см. рис.), применяя формулу трапеций (длины указаны в метрах).
2	Для вычисления работы пара в цилиндре паровой машины вычисляют площадь индикаторной диаграммы, представляющей собой графическое изображение зависимости между давлением пара в цилиндре и ходом поршня (см. рис.). Ординаты точек линий ABD и ED соответствующие абсциссам обозначены соответственно и . Вычислить с помощью формулы Симпсона площадь диаграммы, если , мм.	индикаторная диаграмма паровой машины.
6,2 2,4 1,2 0,9 0,8 0,7 0,7 0,8 0,9 1,3 2,9 54,6 48,7 31,4 22,6 20,1 18,9 15,9 12,6 10,4 6,3 3,8
3	Скорость движения автомобиля (в км/ч) в зависимости от времени выражается графиком (см рис.). Если , то путь, пройденный телом, выражается интегралом Пользуясь графиком скорости, найти пройденный путь за время от 0 ч до 2 ч.
4	Длина дуги гиперболы от точки с абсциссой до точки с абсциссой выражается интегралом . Применяя формулу Симпсона, полагая , вычислить длину дуги гиперболы, заключенной между точками A(2; 5) и B(10; 1).
5	Длина эллипса с полуосями и выражается формулой: , где Вычислить с помощью формулы Симпсона длину эллипса, если м, м .
6	Объем тела, вырезанного из цилиндра радиуса цилиндром радиуса , если оси цилиндров пересекаются под прямым углом (см. рис.), выражается интегралом Вычислить объем такого тела, пользуясь формулой трапеций , полагая см, см.
7	Длина полуволны синусоиды выражается интегралом . Вычислить , пользуясь формулой Симпсона ().
8	Вычислить площадь земельного участка (см. рис.), используя формулу трапеций. Результаты измерений: м, и – см. таблицу.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 120 162 174 186 188 175 124 0
9	Вычислить емкость сосуда, имеющего форму тела вращения, осевое сечение которого изображено на рис. Расстояние между двумя соседними плоскостями – 1 дм, диаметры (в дм) круговых сечений плоскостями, перпендикулярными оси, и площади сечений приведены в таблице.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 2,75 3,16 4,38 5,23 6,04 4,86 2,94 1,63 1,87 5,94 7,84 15,07 21,48 28,65 18,55 6,79 2,08 2,75
10	Вычислить интеграл , пользуясь малой формулой Симпсона (результат будет точным).

Порядок выполнения работы:

1.  записать необходимую для вычислений формулу численного интегрирования;

2.  проанализировав условие задачи, выяснить соответствие между исходными данными и величинами, записанными в формуле;

3.  вычислить недостающие для расчета данные, если это необходимо;

4.  выполнить расчет по формуле;

5.  оценить точность полученного результата по правилу удвоения.

Контрольные вопросы:

1.  Постановка задачи численного интегрирования. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Формула Ньютон-Лейбница.

2.  Геометрический смысл определенного интеграла.

3.  Формулы приближенного вычисления интегралов (формулы механических квадратур).

4.  Формула Симпсона.

5.  Графическая иллюстрация формул приближенного вычисления интегралов.

6.  Оценка точности приближенного вычисления интегралов. Правило удвоения.

7.  Оценка погрешности формулы трапеций.

8.  Оценка погрешности формулы Симпсона.

9.  Вычисление площади плоской фигуры. Общая формула для вычисления площади плоской фигуры.

10.  Вычисление объемов тел. Общая формула для вычисления для вычисления объема тела.