Тема 7. Основы специальной теории относительности (стр. 5 )

можно получить формулы, выражающие проекции скорости частицы в системе отсчета через проекции скорости в системе :

, , . (7.14)

Легко видеть, что они отличаются от соответствующих выражений (7.11А), (7.12) и (7.13) лишь знаком перед слагаемым, содержащим модуль .

Нетрудно убедиться в том, что при формулы (7.11А), (7.12)-(7.14) переходят в формулы преобразования скоростей нерелятивистской механики Ньютона. Например, в простейшем случае, когда вектор скорости частицы направлен вдоль положительного направления оси абсцисс,

, .

Используя релятивистский закон (7.11А), получим:

. (7.15)

Если , т. е. , выражение (7.15) принимает «нерелятивистский» вид: .

Предположим теперь, что в системе отсчета вдоль оси абсцисс движется фотон, т. е.. По формуле (7.11а) имеем:

.

Таким образом, если частица движется в системе со скоростью света, ее скорость в системе также равна . Этот результат не является неожиданным, поскольку релятивистский закон сложения скоростей выведен с использованием преобразований Лоренца. В свою очередь, эти преобразования получены на основе двух постулатов, один из которых гласит, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Далее предположим, что , а , где - сколь угодно малая положительная величина (мы не можем считать , т. к. при этом в преобразованиях Лоренца возникает неопределенность). В таком случае

.

Следовательно, если , а , скорость частицы в системе все равно не превышает скорости света.

7.6. Основы релятивистской динамики

До сих пор в рамках рассматриваемой темы речь шла о релятивистской кинематике. Действительно, мы познакомились с релятивистскими преобразованиями координат и времени (преобразованиями Лоренца), рассмотрели некоторые кинематические следствия из них (относительность одновременности, относительность пространственных и временных промежутков), и вывели закон преобразования скорости в различных инерциальных системах отсчета. Далее речь пойдет об основах релятивистской динамики: здесь мы рассмотрим понятия релятивистского импульса, определение полной и кинетической энергии частицы, а также взаимосвязь массы и энергии.

Релятивистский импульс. Согласно принципу относительности Эйнштейна, все законы сохранения, как и прочие законы физики, должны выполняться во всех инерциальных системах отсчета. Проверим, выполняется ли в релятивистском случае закон сохранения импульса, определяемого по хорошо известной формуле ньютоновской механики

. (7.15А)

Для этого рассмотрим абсолютно неупругое центральное соударение двух одинаковых частиц массой , движущихся в системе навстречу друг другу вдоль оси . Пусть скорости частиц будут по модулю одинаковы и равны модулю скорости движения системы относительно (рис. 7.4). Легко видеть, что в системе суммарный импульс частиц до и после соударения равен нулю, т. е. он сохраняется:

(здесь и - проекции скорости частиц на ось системы ). Используя формулу (7.11А), найдем проекции скоростей этих частиц на ось системы :

Рис. 7.4

; , ;

; .

Следовательно, в системе суммарный импульс частиц до соударения

.

После соударения обе частицы покоятся относительно системы , поэтому их суммарный импульс в системе равен .

Таким образом, в системе суммарный импульс частиц до и после соударения не одинаков. Можно показать, что при скоростях, близких к скорости света, закон сохранения импульса выполняется в обеих системах отсчета, если импульс частиц определен по формуле

. (7.16)

Легко видеть, что при , т. е. из релятивистского импульса частицы получается импульс механики Ньютона.

Необходимо отметить, что ранее формула (7.16) истолковывалась по-иному:

.

Здесь множитель рассматривался как релятивистская масса частицы, - ее масса покоя. В рамках современных представлений масса покоя частицы считается инвариантной величиной и называется просто массой.

Релятивистские формулы для энергии. Как уже отмечалось, в механике Ньютона используются две эквивалентные формулировки второго закона: , . Известно, что инвариантной относительно преобразований Лоренца является лишь одна из них, а именно

. (7.16А)

Сделав здесь замену (7.16), придем к основному уравнение релятивистской динамики для поступательного движения:

. (7.17)

Для того чтобы получить релятивистское выражение для кинетической энергии, будем считать, что под действием силы за промежуток времени частица совершила перемещение . Если уравнение (7.16А) представить в виде , то уравнение (7.17) можно переписать следующим образом:

.

В результате ряда тождественных преобразований получается, что . (7.18)

Можно показать, что при , т. е. релятивистское выражение для кинетической энергии переходит в формулу механики Ньютона.

Уже неоднократно отмечалось, что все законы физики, в том числе и закон сохранения энергии, должны выполняться во всех инерциальных системах отсчета. Огромный экспериментальный материал, накопленный в физике элементарных частиц, свидетельствует о том, что закон сохранения энергии инвариантен относительно преобразований Лоренца лишь в том случае, если свободная (не подверженная действию сил) релятивистская частица массой кроме кинетической энергии обладает еще энергией, равной . Следовательно, свободная частица обладает энергией

.

Сделав в этом равенстве замену (7.18), получим:

.

Эта энергия называется полной энергией частицы. Если же частица неподвижна (), она обладает энергией , которая называется энергией покоя.

Энергия покоя – это внутренняя энергия частицы. В случае макроскопического тела его энергия покоя состоит из энергии покоя всех частиц тела, а также кинетической энергии движения частиц относительно центра масс тела плюс потенциальная энергия их взаимодействия. Особо следует отметить, что термин «полная энергия» в релятивистской механике (сумма кинетической энергии и энергии покоя тела) имеет иной смысл, чем полная механическая энергия в механике Ньютона (сумма кинетической и потенциальной энергии тела).

Взаимосвязь массы и энергии. Из соотношения следует, что всякое изменение массы тела на сопровождается изменением его энергии покоя на . Это утверждение получило название закона взаимосвязи массы и энергии.

Взаимосвязь массы и энергии приводит к тому, что суммарная масса взаимодействующих частиц не сохраняется. В качестве иллюстрации этого рассмотрим следующий пример. Пусть две одинаковые релятивистские частицы массой , движущиеся с одинаковыми по модулю и противоположно направленными скоростями, претерпевают абсолютно неупругое столкновение, в результате которого образуется составная неподвижная частица. До соударения полная энергия обеих частиц была

,

после соударения полная энергия образовавшейся частицы (- ее масса). Из закона сохранения энергии следует:

.

Таким образом, масса образовавшейся частицы больше суммарной массы сталкивающихся частиц. Это обусловлено тем, что их кинетическая энергия превратилась в эквивалентное количество энергии покоя, а это в свою очередь привело к увеличению массы. При распаде неподвижной частицы на несколько разлетающихся в разные стороны частиц наблюдается обратное явление – сумма масс образовавшихся частиц оказывается меньше массы исходной частицы на величину, равную суммарной кинетической энергии, деленной на .