Тема 7. Основы специальной теории относительности (стр. 1 )

ТЕМА 7. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

7.1. Принцип относительности Галилея

В 1905 году А. Эйнштейн сформулировал основные положения специальной теории относительности, которая и в наше время, т. е. спустя сто лет, по праву считается современной физической теорией пространства и времени. В первых публикациях на эту тему использовалось английское слово «special», что означает «частный». Это слово указывает на то, что рассматриваемая теория развита для частного случая пренебрежимо слабых гравитационных полей. Поскольку переводчики перевели слово «special» как «специальный», в литературе на русском языке укоренился термин «специальная теория относительности» (СТО).

Основу СТО составляют два постулата, один из которых называется принципом относительности Эйнштейна. Прежде чем сформулировать его, познакомимся с утверждением, которое в ньютоновской механике получило название принципа относительности Галилея. Для этого рассмотрим инерциальные системы отсчета и , оси абсцисс которых совпадают (рис. 7.1). Пусть штрихованная система движется относительно

Рис. 7.1

нештрихованной () вдоль совпадающих осей вправо с постоянной скоростью . Если отсчет времени начать с момента, когда точки и совпадают, координаты частицы в системах и будут связаны соотношениями , , . Поскольку в механике Ньютона предполагается, что во всех системах отсчета время течет одинаково, имеем, что . Таким образом получается система четырех равенств, которая называется преобразованиями Галилея:

, , , . (7.1)

Продифференцируем первое из равенств (7.1) по переменной :

. (7.2)

Так как , вместо производной можно использовать . С учетом этого перепишем (7.2):

.

Поскольку производные и представляют собой проекции скорости частицы в системах отсчета и , имеем:

. (7.3)

Дифференцирование второго и третьего равенства системы (7.1) по аналогии дает следующее:

, . (7.4)

Систему скалярных уравнений (7.3) и (7.4) можно заменить одним векторным уравнением

. (7.5)

Его можно рассматривать как формулу преобразования скорости при переходе от системы отсчета к системе , либо как закон сложения скоростей в механике Ньютона: скорость движения частицы относительно системы равна сумме ее скорости относительно и скорости системы относительно . Далее продифференцируем по времени равенство (7.5):

. (7.6)

Поскольку - неизменный вектор, его производная по времени равна нулю. Учтем также, что производные и представляют собой векторы ускорения и частицы в системах и , и перепишем (7.6) в виде . Следовательно, ускорения частицы в рассматриваемых системах отсчета одинаковы. Умножив последнее равенство на массу частицы, получим, что

, (7.7)

т. е. силы, действующие на частицу в обеих системах отсчета, также одинаковы. Вместе с тем равенство (7.7) имеет значительно более глубокий смысл: из него следует, что законы механики Ньютона в инерциальных системах и выражаются одинаковыми уравнениями. Поскольку системы и были выбраны произвольно, из сказанного можно заключить, что законы ньютоновской механики формулируются одинаковыми уравнениями во всех инерциальных системах отсчета. Этот вывод и составляет сущность принципа относительности Галилея.

Галилей первым обратил внимание на то, что никакими опытами с явлениями механики, поставленными в инерциальной системе отсчета, невозможно установить, движется или покоится эта система относительно какой-то другой системы. Физические величины, которые имеют одинаковые численные значения в различных системах отсчета, называются инвариантными. В качестве примера таких величин можно упомянуть массу тела, электрический заряд и т. п. Уравнения, вид которых не изменяется при переходе от одной инерциальной системы к другой, также называются инвариантыми относительно преобразований координат и времени. Воспользовавшись понятием инвариантности, принцип относительности можно сформулировать так: уравнения, выражающие законы механики Ньютона, инвариантны относительно преобразований Галилея.

7.2. Постулаты СТО

В шестидесятых годах девятнадцатого века выдающийся английский физик сформулировал основные положения классической электродинамики – теории электромагнитных явлений, обусловленных взаимодействием и движением электрических зарядов. Более подробно электродинамика Максвелла рассматривается во второй части нашего курса; теперь отметим лишь, что она позволила объяснить все известные к тому времени электрические, магнитные и оптические эффекты. Математическим выражением этой теории является система четырех уравнений, которые впоследствии стали именоваться уравнениями Максвелла. Из этих уравнений, в частности, следовало, что свет – это электромагнитная волна, распространяющаяся со скоростью 3∙108 м/с в вакууме. После публикации основополагающих работ Максвелла у физиков сразу же возник вполне естественный вопрос: можно ли распространить принцип относительности Галилея на явления и законы электродинамики? Иначе говоря, можно ли считать, что электромагнитные явления, как и явления механики, протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета?

На первый взгляд кажется, что это не так. В качестве примера, иллюстрирующего якобы невозможность такого обобщения, рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть в системе отсчета , движущейся относительно системы вдоль оси с постоянной скоростью , имеется источник, излучающий параллельный пучок света вдоль направления движения (рис. 7.2,а). Относительно наблюдателя в системе свет источника, т. е. электромагнитная волна, распространяется в вакууме со