Краткий конспект лекционного курса «Математическое моделирование химических процессов» (стр. 4 )

(10)

составная формула Симпсона.

Если непрерывна на , можно получить следующие оценки погрешности для рассматриваемых выше квадратурных формул:

для формул прямоугольников и трапеций ;

для формулы Симпсона (составной) .

Замечание. Формула Симпсона не всегда будет давать более точный интеграл, чем формула трапеций (, ).

§ 3. О компьютерном решении задачи (1), (2), (3).

Система Mathematica может мгновенно вычислить интеграл (3):

Внутри программы реализуется один их методов численного интегрирования. Нас интересует такая организация вычислений, которая позволяла бы осуществлять контроль точности. Общая схема будет выглядеть следующим образом.

, является точкой максимума .

, ,

можно рассматривать как собственный интеграл, единственная проблема в том, что не определена, однако . Поэтому можно вычислить по квадратурной формуле, не содержащей , т. е. , например, формулам средних или правых прямоугольников. Контроль точности осуществляется следующим образом. Берем некоторое , вычисляем приближенное значение интеграла . Затем удваиваем , вычисляем . Если , вычисления прекращаем и считаем , в противном случае снова удваиваем .

является несобственным. Для его вычисления предлагаем 2 подхода.

1) заранее определить количество узлов квадратурной формулы, исходя из величины и оценки погрешности соответствующей квадратурной формулы. Для этого потребуется вычислить или и ее . Затем вычислить приближенное значение как собственный интеграл от до некоторого , используя найденное . После этого увеличиваем и вычисляем от до нового с тем же . Вычисления прекращаем, если , в противном случае снова увеличиваем и т. д.

2) заранее определить достаточно большой верхний предел интегрирования . Это можно сделать, например, следующим образом: поставить требование . Затем вычислить как собственный интеграл на отрезке по аналогии с вычислением , для контроля точности увеличивая .

Все вышесказанное относится, в первую очередь, к Excel, где целесообразно будет воспользоваться процедурами VBA. Что касается пакета Mathematica, там не надо слишком заботиться об , b b и т. д., ибо функция Integrate уже включает в себя вычисление интеграла по квадратурной формуле с некоторой точностью. В [2] имеется программа системы Mathematica, не содержащая циклов. Ее необходимо уточнить (оформить цикл).

Глава IV

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и

систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ 1. Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях химических процессов (уравнениях кинетики, кинетических уравнениях).

Основной закон химической кинетики: скорость реакции в каждый момент времени пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ, возведенных в соответствующие степени.

Пусть стехиометрическое уравнение реакции записано в виде

(1)

где – -тое исходное вещество, – -тый продукт, – коэффициенты. В случае одностадийной реакции кинетическое уравнение имеет вид

(2)

– константа скорости, – порядок реакции, – скорость реакции.

Если рассматриваемая реакция обратимая, то ее кинетическое уравнение принимает вид

(3)

Простейшие примеры.

1) Радиоактивный распад.

Скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна его количеству – реакция первого порядка. Пусть – число атомов радиоактивного вещества, – время, – константа распада. Тогда

(4)

Задача: найти время, за которое концентрация уменьшится вдвое.

Решение. Задача Коши для уравнения (4) с начальным условием имеет решение . Отсюда искомое время удовлетворяет соотношению , откуда следует, что .

2) Коагуляция – процесс осаждения коллоида.

Ее можно рассматривать как реакцию второго порядка

(5)

где – концентрация золя, – константа, характеризующая вероятность столкновения частиц.