Краткий конспект лекционного курса «Математическое моделирование химических процессов» (стр. 1 )

Краткий конспект лекционного курса
«Математическое моделирование химических процессов»

Введение

О математическом моделировании.

Термин «объект» понимается в наиболее широком смысле: ситуации, явления, процессы и т. д.

Математическая модель позволяет свести исследование нематематического объекта к решению математической задачи.

Определение. Математическая модель – совокупность математических объектов (чисел, переменных, функций и т. д.) и отношений между ними, характеризующая свойства исследуемого объекта.

Математическое моделирование химического процесса представляет собой исследование природы и механизма химических реакций с помощью математической модели.

Этапы математического моделирования химического процесса:

1. Формулировка цели математического моделирования.

2. Рассмотрение механизма исследуемого процесса или выработка гипотезы о механизме. Этот шаг завершается записью химических уравнений, отражающих процесс.

3. Построение совокупности математических объектов, соответствующих химическим уравнениям.

Замечание. Адекватность модели объекту всегда ограничена и зависит от цели моделирования.

4. Выбор метода решения математической задачи и алгоритма его реализации.

5. Программирование.

6. Анализ результатов.

Рекомендуемая литература.

Основная.

1. Скатецкий, Свиридов, Яшкин. Математические методы в химии.

2. Яшкин. Численные методы в химии. Математическое моделирование. Практикум.

3. Скатецкий, Свиридов, Яшкин. Математическое моделирование физико-химических процессов.

4. Дегтяренко, Душкевич. Математическая статистика.

Дополнительная.

1. Батунер, Позин. Математические модели в химической технологии. Л. Химия, 1971г.

2. Эмануэль, Кнорре. Курс химической кинетики. М. Высшая школа, 1984г.

3. Скатецкий. Лекции по математике для студентов химических специальностей.

4. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика.

5. Крылов, Бобков, Монастырный. Вычислительные методы (в 2-х частях).

6. Сборник задач по методам вычислений под редакцией Монастырного.

Глава I

Численное решение нелинейных уравнений.

§ 1. Химические задачи, сводящиеся к решению нелинейных уравнений.

Задача 1. Определить водного раствора слабой одноосновной кислоты с константой диссоциации при н. у., если концентрация кислоты .

Решение. Пусть , , равновесные концентрации ионов водорода, гидроксил-ионов и анионов кислоты; – концентрация недиссоциированных молекул кислоты.

Равновесия, установившиеся в растворе, характеризуется двумя константами: , (1), где – константа диссоциации воды. Уравнения электронейтральности и математического баланса:

(2)

В системе {(1), (2)} выразим , и через , , , . Получим

(3)

Подставим выражение (3) в формулу , получим:

(4)

Уравнение (4) описывает процесс диссоциации одноосновной кислоты для любых и , когда нельзя пренебречь эффектами ионизации воды.

Задача 1´: Определить 0,1М водного раствора ацетата натрия. уксусной кислоты 1,75·10-5, .

Уравнение (4) примет вид

.

Упражнение. Провести выкладки.

Построение математической модели.

Обозначим , , , . Уравнение (4) запишем в виде (5).

Зная нули функции , найдем , где – корень уравнения .

§ 2. Некоторые численные методы решения нелинейных уравнений.

Имеется нелинейное уравнение (6)

Общая схема численного решения уравнения (6):

1. Отделение корня.

2. Применение какого-либо итерационного метода.

Отделение корня осуществляется на основании теоремы Больцано-Коши либо теоремы о монотонной непрерывной функции.

Общее представление об итерационных методах.

Если (6) привести к виду , можно построить последовательность , начиная с некоторого заданного начального приближения , по правилу ,  (8). Если – непрерывная функция, а – сходящаяся последовательность, то является корнем (7).

Достаточные условия сходимости последовательности дает следующая теорема.

Теорема. Пусть функция на отрезке удовлетворяет условию , , причем , и выполняется неравенство . Тогда уравнение (7) имеет на единственное решение , к которому сходится последовательность (8), начиная с любого и выполняется неравенство .

Порядок сходимости.

Пусть .

Определение. Последовательность имеет порядок сходимости , если существует такие, что для любых .

Метод половинного деления.

– непрерывная функция. и т. д.