Цифровая обработка сигналов в радиоэлектронных системах (стр. 10 )

H= ОДПФN-1{ДПФN-1{h}× ДПФN-1{g}}. (69)

Пример. Пусть N=5, . Определим первообразный элемент . Из соотношения следует, что перестановка имеет вид

Последовательности h и g соответственно равны

, .

ДПФ последовательности h представляется как

В данном примере для вычисления циклической свертки можно использовать БПФ для N=4. Полный спектр ДПФ определится как

Схема вычисление ДПФ через свертку для простого N представлена на рис. 9 и носит название схемы Рейдера.

3.2.5. ДПФ на основе алгоритма ЛЧМ-Z фильтрации

Покажем возможность вычисления ДПФ цифрового сигнала через операцию свертки, используя свойства подобия дискретных экспоненциальных функций и ЛЧМ сигналов. Рассмотрим выражение

.

Преобразуем произведение входных и выходных индексов поворачивающего множителя следующим образом

. (70)

Подставим в формулу для ДПФ полученное выражение

. (71)

В полученном выражении сумма может быть вычислена через операцию свертки

. (72)

Соответственно выражение для полного спектра с использованием оператора свертки имеет вид

. (73)

Из формулы видно, что значения спектральных коэффициентов можно найти, рассчитав взвешенную свертку последовательностей b1,b2. Данную операцию можно эффективно провести, используя алгоритм быстрой свертки на основе БПФ.

Часто такой алгоритм называют алгоритмом ЛЧМ-Z преобразования, подразумевая, что с его помощью можно эффективно вычислить Z-преобразование последовательности {x[n]}. Действительно, пусть N-точечная последовательность {x[n]} имеет образ Z-преобразования

По определению ДПФ заданной последовательности связано с Z выражением

. (74)

Зададим контур преобразования более общего вида

, (75)

где M-произвольное целое число (необязательно равное N), а A и W - произвольные комплексные числа. Обозначим через Xk искомые значения Z-преобразования при z = zk

.

Подстановка в эту формулу выражения для произведения nk дает

или

, где . (76)

Взвешенная свертка может быть рассчитана с использованием БПФ. Основными операциями при этом являются три (иногда два) БПФ, поэтому сложность вычислений будет иметь логарифмическую зависимость.

3.3. Дискретные ортогональные преобразования на конечных абелевых группах

Значительный интерес для цифровой обработки сигналов представляют Фурье-подобные преобразования в пространстве всех функций, заданных на конечной абелевой группе и принимающих значения в конечном коммутативном кольце или некотором поле K. Это пространство обозначим как . Определим в пространстве функции аналоги ДЭФ . Заметим, что экспонента является решением функционального уравнения над полем комплексных чисел с начальным значением . Решениями подобного уравнения над кольцом K дает функции, которые называются характерами и обозначаются . Каждый характер является гомоморфным отображением группы H в кольцо K. Если будем считать что размер группы , - простое число, и введем понятие как первообразного корня в степени в поле или кольце , тогда характер можно определить как:

,

где x принадлежит числовой циклической группе .

Классификация основных Фурье подобных преобразований

	Множество (Абелева группа)	Множество Фурье (поле, кольцо)
Бесконечное поле комплексных чисел	Конечное поле комплексных чисел
Поле Галуа	Модулярное кольцо
Бесконечное	Действительные числа	Интегральные преобразования	____	____
Счетное множество целые числа	Z-преобразование, ДПЛ	Преобразования Лапласа-Галуа	___
Конечное	Циклическая группа	ДПФ в бесконечном поле	Теоретико - чис­ловые преобра­зования (ТЧП)	ТЧП (модулярных групп)
Прямо разложимая группа	Преобразования Уолша; Виленкина-Крестенсона; Виленкина-Крестенсона-Понтрягина (ВКП)	Преобразование ВКП, Уолша-Галуа)	ТЧП (модулярных групп)

Таблица 2

Классификация дискретных преобразований

Группа	Дискретное преобразование	Ядро преобразования (характер )
Порядок	Тип
	Циклическая	Фурье
		Уолша-Адамара
		Крестенсона - простое число
		Виленкина-Крестенсона (r - целое положи­тельное число)
		Виленкина-Крестенсона-Потрягина

- декартово произведение множеств.